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七年级数学（人教版）上册
第二章有理数的运算·进阶训练
说理与证明初步
一、知识梳理
1. 数学说理的核心定义
数学说理，是依托数学定义、运算法则、运算律、基本性质等公认数学事实，按照严谨逻辑，条理清晰、步步有据地解释数学结论成立或不成立的过程，是代数推理的基础形式。
说理三大基本规范：
（1）有据性：每一步推理都必须对应明确的数学依据，无主观判断、无跳跃步骤；
（2）有序性：遵循逻辑顺序逐层推导，推理链条完整、前后连贯；
（3）明确性：推理过程完整，最终结论清晰、准确无误。
2. 有理数运算常用推理依据
依据类型 具体内容
定义类 相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义
法则类 有理数加法、减法、乘法、除法、乘方运算法则
运算律类 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
性质类 绝对值非负性、平方非负性、0的运算性质、相反数和为0等基本性质
3. 两种基础说理形式
（1）演绎说理：由通用数学规则推导具体问题结论，严谨性强，是代数说理的主要形式；
（2）归纳说理：通过多个具体算式、实例观察共性规律，总结数学结论，多用于规律探究问题，归纳结论需结合通用依据验证成立性。
二、例题精析
例1 【法则依据】小明对算式的说理过程为：“异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，所以结果为。”请判断该说理是否正确，并完整说明理由。
解答：
小明的说理不完全正确，推理过程存在缺失。完整说理过程如下：
算式属于绝对值不相等的异号两数相加。
先求两数绝对值：，。
因为，所以和的符号取绝对值较大的数的符号（负号），再用较大绝对值减去较小绝对值：。
依据：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
因此。
例2 【正误判断】小华提出结论：“任意两个有理数相加，和一定大于每一个加数。”请判断该结论是否正确，说明理由。
解答：
该结论错误。
理由：举反例：取有理数和，则。
此时和小于加数，与原结论矛盾，因此该结论不成立。
补充规律：两个正数相加，和大于任意一个加数；一正一负两数相加，和小于正加数；两个负数相加，和小于任意一个加数。
例3 【规律探究】观察算式：，；，。小明得出结论：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。请判断该结论是否成立并说明理由。
解答：
该结论成立。
理由：乘法交换律在有理数范围内完全适用。对于任意两个有理数、，均满足。
引入负数后，有理数乘法的符号法则和绝对值运算规则固定，交换因数位置，不会改变乘积的符号与绝对值，因此积保持不变。
综上，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。
三、练习题
A组 基础说理
判断下面的说理是否正确，不正确的请改正。
小红说：“计算，因为同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，所以。”
小刚说：“计算，因为异号两数相除得负，并把绝对值相除，所以。”
请把下面的说理过程补充完整。
计算：。
解：（依据：________________________）
请把下面的说理过程补充完整。
判断：与是否互为相反数？
解：因为______，而______的相反数是______，
所以与_______________。（填“互为相反数”或“不互为相反数”）
小明说：“任何有理数的绝对值都是正数。”这个说法正确吗？请判断并说明理由。
请将下面的说理过程补充完整。
题目：说明“一个数加上一个负数比原来的数小”。
设这个数为，加上的负数为（其中），
则______。（依据：________________________）
因为，所以______，
所以______。（填“>”“<”或“=”）
因此，一个数加上一个负数比原来的数小。
小丽在学习有理数减法时，写出了下面的说理过程：“计算，因为减去一个数等于加上这个数的相反数，所以。”请判断小丽的说理是否正确，并说明她使用的推理依据。
B组 判断说理
判断下面的说法是否正确，并说明理由。
两个有理数相加，如果和小于其中一个加数，那么另一个加数一定是负数。
两个有理数相乘，如果积为正数，那么两个因数一定都是正数。
小丽在学习有理数乘法时，总结出四个结论：
① 正数乘以正数，积为正数；
② 负数乘以负数，积为正数；
③ 正数乘以负数，积为负数；
④ 任何数乘以0，积为0。
请判断哪些结论一定正确，并说明理由。
已知是有理数。
一定是正数吗？请说明理由。
一定是正数吗？请说明理由。
小聪说：“一个数的平方一定大于这个数本身。”请判断该说法是否正确，并说明理由。
代数推理需要步步有据，请完成下面证明的依据填写。
已知有理数，满足，求证：。
证明：（已知）
（①__________）
（②__________）
一组数按如下规律排列：
请写出第6个数；
小聪发现：这组数从第2项起，每一项都比前一项的2倍多1。他的发现正确吗？请说明理由。
这组数中是否存在等于2025的数？请说明理由。
C组 规律说理
观察下列各组算式：
第一组：，，，
第二组：，，，
（1）请你再举一组类似的例子；
（2）观察以上例子，总结有理数乘方的符号规律；
（3）请说理说明该规律成立的原因。
阅读材料：
一个数乘大于1的正数，积大于原数；一个数乘小于1的正数，积小于原数。小明认为该结论对负数同样适用，举例：，，符合结论。
（1）请再举两个例子验证小明的想法；
（2）小明的想法是否完全正确？请完整说理。
在日历中任意框出竖列上相邻的三个数，设中间的数为。
（1）用含的代数式表示另外两个数；
（2）计算这三个数的和；
（3）说理证明：竖列上相邻三个数的和一定是中间数的3倍。
探寻规律，完成探究：
（1）比较与的大小：
① 当，时，______；
② 当，时，______；
③ 当，时，______。
（2）猜想与的大小关系，并说理证明。
观察下列等式：，，，，
（1）计算：______；______。
（2）计算：______；______。
（3）观察结果，总结通用规律，用含字母的式子表示，并说理证明规律成立。
D组 证明初步
已知、为任意有理数。
说理证明：一定成立。【依据：__________】
说理证明：一定成立。【依据：__________】
说理证明：一定成立。【依据：__________】
证明：任意一个有理数与它的相反数的和等于0。
证明：对于任意有理数，都有。
小刚提出猜想：对任意两个有理数、，都有。
举例验证该猜想；
判断猜想是否正确，并说理说明理由；
写出成立的准确条件。
证明：对于任意有理数，都有。
完成推理证明并填写依据。
已知有理数，满足，求证：。
证明：（已知）
（①__________）
（②__________）
参考答案
A组 基础说理
1. 解析：
（1）说理错误。
改正：是同号两数相加，取相同的负号，再将绝对值相加，，因此。原说理遗漏负号，结论错误。
（2）说理正确。异号两数相除得负，绝对值相除，故，步骤完整、依据准确。
2. 答案：两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘。
解析：两个负数相乘，依据有理数乘法法则，同号得正，再计算绝对值的乘积。
3. 答案：；；；互为相反数。
解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，，故与互为相反数。
4. 解析：说法错误。
理由：有理数包含0，，0不是正数。因此有理数的绝对值是非负数，即，并非全部为正数。
5. 答案：；有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）；；。
解析：借助有理数减法法则变形，结合正数、负数的大小关系，可严谨证明结论。
6. 解析：小丽的说理正确。
推理依据：有理数减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数。原式变形合理、步骤完整、依据准确。
B组 判断说理
7. 解析：
（1）说法正确。
理由：设两加数为、，若，等式两边同时减去，得，即另一个加数为负数。
（2）说法错误。
理由：根据有理数乘法法则，同号得正，两个负数相乘，积也为正数，例如，因此积为正，两因数不一定都是正数。
8. 解析：四个结论全部正确。
依据有理数乘法符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负；根据0的运算性质，任意数与0相乘，结果为0。四个结论均符合有理数乘法运算规则。
9. 解析：
（1）不一定。当时，，0不是正数，因此为非负数。
（2）不一定。当时，，0不是正数，因此为非负数。
10. 解析：说法错误。
反例1：当时，，平方等于原数；
反例2：当时，如，，平方小于原数。因此该结论不成立。
11. 答案：①等式的基本性质1（等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立）；②化简求值。
12. 解析：
（1）第6个数为；
（2）结论正确。，，，后续数均满足该规律；
（3）不存在。该数列通项为，若，则，2026不是2的整数次幂，故无对应数。
C组 规律说理
13. 解析：
（1）示例：，，；
（2）规律：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数；
（3）理由：乘方是多个相同因数的连乘，偶数个负数相乘，负号两两抵消，结果为正；奇数个负数相乘，最终剩余一个负号，结果为负。
14. 解析：
（1）示例：，；
（2）不完全正确。当负数乘小于1的正数时，积大于原数，例如，，与原结论矛盾。
15. 解析：
（1）日历竖列相邻数相差7，另外两数为、；
（2）三数和：；
（3）三数和化简结果为，即为中间数的3倍，结论成立。
16. 答案：（1）①；②；③；
（2）规律：。
理由：，故。
17. 答案：
（1），；（2），；
（3）规律：，依据完全平方公式，等式恒成立。
D组 证明初步
18. 答案：（1）加法交换律；（2）乘法交换律；（3）乘法分配律。
19. 证明：设任意有理数为，则其相反数为。
根据相反数定义：，故任意有理数与它的相反数的和为0。
20. 证明：根据绝对值定义：正数的绝对值是本身，为正数；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，为正数。综上，任意有理数的绝对值为正数或0，即。
21. 解析：
（1）举例：，，等式成立；
（2）猜想错误。反例：，，，等式不成立；
（3）成立条件：、同号或至少有一个数为0。
22. 证明：根据乘法的意义，表示0个相加，结果为0；结合有理数乘法法则，任意有理数与0相乘，积为0。故恒成立。
23. 答案：①等式的基本性质1；②化简求值。

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