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2026年江苏省无锡市惠山区九年级五月检测数学试题
一、单选题
1．下列各数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（ ）
A．a小于b B．a等于b C．a大于b D．无法确定
5．若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
7．如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
10．在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为，投入设为，定义了增效函数：对于函数，若其图象上任意两点，（）都满足，则称该函数为增效函数．给出下列关于增效函数的命题：
①一次函数是增效函数；
②若正比例函数是增效函数，则；
③反比例函数（）是增效函数；
④若，则二次函数是增效函数．
其中真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
11．年，无锡天春假期间，鼋头渚、惠山古镇、梅园、动物园、蠡园家重点景区共接待游客约人次．其中数据用科学记数法表示为________．
12．若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______
13．分解因式：=__________
14．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为________米．
15．如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________．
16．如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A、B、D均在格点上，连接与网格线交于点C，连接与网格线交于点E，则______．
17．如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______．
18．如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M．
（1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示）
三、解答题
19．计算与解方程：
(1)计算：；
(2)解方程：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
22．为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．
请你根据如图信息解决下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ；
(2)补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
(3)若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？
23．当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下：
(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________；
(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率．
24．如图，已知梯形，，．
(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的垂线l交于点E，在l上确定点F，使得点F到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则________．（如需画草图，请使用图②）
25．如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
26．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
27．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数与轴交于点，与轴交于点（点在点的左边），点在二次函数第三象限的图象上，横坐标为， 为二次函数图象上异于的两点，横坐标分别为、，连接、、．
(1)求二次函数的表达式；
(2)证明：为直角三角形；
(3)连接，与直线、直线分别交线段于点，若，求的值．
28．如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G．
(1)若点G与点B重合，求的长；
(2)若，，求y与x的函数关系式．
参考答案
1．C
解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求；
B、是整数，属于有理数，故B不符合要求；
C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合要求；
D、是分数，属于有理数，故D不符合要求．
2．B
解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等，
∴不是同类项，不符合题意；
B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义，
∴是同类项，符合题意；
C、只含字母，含字母和，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意；
D、含字母，含字母，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意．
3．C
解：，
，
∴组数为，
故选：C．
4．A
解：∵甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴小于．
5．D
解：设圆锥母线长为，圆锥侧面积公式为，
∵圆锥底面半径，侧面积，
∴代入得 ，约去解得，
即圆锥母线长为．
6．D
解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误；
∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误；
∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误；
∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确．
故选D
7．D
解：如图，
∵直尺的两条边平行，即，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
∵是等腰直角三角尺的一个锐角，
∴，
又∵是的一个外角，
所以．
8．A
解：连接，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
9．D
解：根据题意，得：．
故选：D．
10．B
解：增效函数定义为：对任意，恒有，即恒成立。
①对于，
，
，恒成立，故①正确；
命题②：若是增效函数，则，
，
∴，
取，，
则，不满足条件，
∴即使也不是增效函数，②错误；
③对于，取，，，
，即，不满足定义，故③错误；
④∵，
∴
整理得：，
令，开口向上，最小值为，若对任意，恒成立，则需，即，解得，符合命题条件，故④正确．
综上，①④正确．
11．
解：的小数点向左移动位得到，
∴，
∴．
12．/
解：代数式有意义，
∴，
解得，，
故答案为： ．
13．
解：
故答案为：
14．
解：设上升的高度为米，
上山直道的坡度为，
水平距离为米，
由勾股定理得：，
整理得，
解得（负值已舍去）．
15．3
解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为
平移后的抛物线经过原点，
，
解得，．
16．/
解：过点作，连接，如图所示：
由图可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．
解：设点的坐标为，
∵的两条边分别与坐标轴平行，，，
∴，，
∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，
∴，
解得：，
∴，，
将代入反比例函数可得，即，
∴反比例函数为，
设直线的解析式为，
将代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，可得，
解得：或，
设，，且，则，
∴，
∴．
18． 或
(1)解：如图1，
∵，，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，
∴，，
∴，
∵点O是边的中点，
∴点O是边的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
(2)解：作的垂直平分线分别交于，交于，交于，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点P是的中点，
又∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②如图3，连接，
∵，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
综上，的长为或．
19．(1)
(2)，
（1）解：
（2）解：
∴
∴或，
解得：，
20．，
解：原式
；
当时，则原式．
21．(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：连接，过点作，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)100；
(2)
补全条形统计图如下：
(3)估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名），
“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：100；；
（2）解：参加“插花”的人数有（名）；
（3）解：（名），
答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
23．(1)
(2)
（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，共有4种等可能情况，其中抽到《2026十大技术趋势》的情况只有1种，故概率为．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到A《人工智能：现代方法》和D《算力基础设施白皮书》的结果有2种，
所以抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率为．
24．(1)见解析
(2)
（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，解得，
∴，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，．
25．(1)见解析
(2)
（1）解：连接．
是 的直径，
，
．
，
∴，
．
又 ，
∴，
．
（2）解：连接，
， 是直径，
．
由（1）知：，
，
．
在 中，，
，
．
在 中，由勾股定理：
，
，
，
．
．
26．(1)；
(2)．
【详解】（1）∵，
∴如图，
设，则，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
27．(1)
(2)证明：根据题意，得 ， ，
∴
可得：，
∴ 是直角三角形，且；
(3)或
（1）解：将代入，得： ，
解得：，
展开得，
即二次函数表达式为
（2）略
（3）解：当时，，
解得或，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴,
∴，
∴，
解得或或或，
∵M点在第三象限，
∴，
∴或．
28．(1)
(2)
（1）解：如图：
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图，当点在边上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在的延长线上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点，
同理可得：,，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．

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