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2025-2026学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数求导正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.某校高二、一班共有男生人，女生人，从该班学生中选出人组成一个数学建模兴趣小组，小组中女生人数为，则( )
A. B. C. D.
6.有名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为( )
A. B. C. D.
7.，使成立，则( )
A. B. C. D.
8.已知二项式的展开式中所有项的系数和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比( )
A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 相关系数变小
11.已知函数，则( )
A. 的值域为，
B. 关于的方程有个实数根
C. 当时，关于的方程有个实数根
D. 若函数，则对于，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数其中为正实数，则 ．
13.若函数满足，且，则 ．
14.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中，定义：在维空间中两点、的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究学生的课外阅读情况对数学成绩的影响，某学习小组从该校高二全体学生中随机抽取名学生开展问卷调查调查规定：每周有固定课外阅读时间的学生记为“坚持课外阅读”，否则记为“不坚持课外阅读”；根据学生的数学成绩，分为“优秀”和“不优秀”两类经统计得出如下列联表：
单位：人
数学成绩 课外阅读 合计
不坚持课外阅读 坚持课外阅读
不优秀
优秀
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与坚持课外阅读有关联？
在统计中，常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，称为似然比现从这人中任选一人，表示“选到的人坚持课外阅读”，表示“选到的人数学成绩优秀”，请利用样本数据，估计．
附：，
16.本小题分
脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换未来到年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量单位：亿元与研发人员增量人的组数据现用模型进行拟合．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，．
根据模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少为多少人？精确到
现从全国同类企业中随机调研家，已知每家企业能达到中收益增量水平的概率为，且各企业是否达标相互独立记这家企业中达到该收益增量水平的企业数为求的数学期望，并求使得概率取得最大值的正整数．
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为．
17.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若函数的图象关于直对称，求，；
解关于的不等式
18.本小题分
现有标号为的张质地、大小完全相同的卡片，充分混合后从中一次性取张卡片，记抽取的张卡片中标号的最大值为随机变量．
求在“”的条件下“取得的卡片中标号最小值为”的概率；
求的分布列，并借助该分布列证明：；
求
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】数学成绩与坚持课外阅读有关联

16.【答案】，人
，
17.【答案】
，

18.【答案】
由分布列的概率性质可知，则

19.【答案】
单调递增区间为，单调递减区间为

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