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2025-2026学年辽宁省朝阳市建平县普通高中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费通过抽样获得了户居民的月均用水数据单位：，制成如下频率分布表．
分组
频率
如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是( )
A. B. C. D.
5.已知直线，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.过圆：外一点作圆的切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，为边上一点，且平分，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于另一点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
10.已知函数关于的方程，下列命题正确的是( )
A. 若，则方程恰有个不同的解
B. 若，则方程恰有个不同的解
C. 若方程恰有个不同的解，则或
D. 若方程恰有个不同的解，则
11.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用斐波那契数列满足，，则( )
A. ，
B. ，使得，，成等比数列
C. ，对，，，成等差数列
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项是______．
13.已知双曲线，若直线为的一条渐近线，则的离心率为______．
14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体、圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章如图，该形状称为“半正多面体”由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体，每个正方形面上均刻有不同的印章图中为多面体的面上的部分印章图是一个由个正方形和个正三角形围成的“半正多面体”其各顶点均在一个正方体的面上，若该多面体的棱长均为，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求；
设函数，求的单调区间．
16.本小题分
已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若恒成立，求整数的最小值参考数据：，．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在上，．
求的方程；
设，直线过焦点，与交于，两点，直线，分别交于另两点，．
求的面积的最小值；
试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.本小题分
甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响．
求和的值；
探究与之间的递推关系；
设，数列的前项和为，若，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
单调递增区间：，单调递减区间为：
16.【答案】证明：取的中点，连接，．
因为在中，是线段的中点，是线段的中点，
所以，．
又在三棱柱中，，是线段的中点，
所以，．
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面

17.【答案】解：由题意得的定义域为，，
因为在处取得极值，
所以，解得，
此时，，其中恒成立，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，并且在处取得极大值．
，即，
令，则，，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以存在唯一的，使得，即，
所以，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
所以，
又在上单调递增，
故，
又，
所以整数的最小值为．
18.【答案】解：抛物线：的准线方程为，
因为点在上且，所以，解得．
所以抛物线的方程为．
由知，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；
设直线的方程为，设， ．
联立，得， ．
因此，．
又，所以．
故当时，的面积最小，且最小值为．
直线过定点，理由如下：
由题意直线也不与轴重合，设， ．
设直线的方程为，联立，得．
则，因此，，则，同理可得．
所以，
因此直线的方程为．
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点．

19.【答案】，；
；
证明见解析．
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