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2025-2026学年甘肃省武威市第六中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.棱长为的正四面体中，点是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
3.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立电池的正常使用年限单位：年服从正态分布，，，则这两组电池在年内都能正常使用的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是( )
A. 若，且，则
B. 若，，，则
C. 若，且，则
D. 若，，，则
5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，为正实数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上表面积是( )
A. B. C. D.
8.函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 数据，，，，，，的第百分位数为
B. 已知随机变量，若，则
C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
10.如图，有一个正四面体，其棱长为，则下列说法中正确的是( )
A. 过棱的截面中，截面面积的最小值为
B. 若为棱含端点上的动点，则存在点使得
C. 若为棱含端点上的动点，则的最小值为
D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有个
11.记函数的图象为，下列选项中正确的结论有( )
A. 函数的极大值和极小值均有且只有一个
B. 有且仅有两条直线与恰有两个公共点
C. 不论实数为何值，方程一定存在实数根
D. 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将英文单词“”中的个字母重新排列，其中字母不相邻的排列方法共有 种
13.某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为，随机选择名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则当取最大值时，的值为 ．
14.已知空间向量均为单位向量，且与夹角为与夹角为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，且为非空集合．
当时，，求实数的取值范围；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其箱产量如下表所示．
养殖法 箱产量
箱产量 箱产量
旧养殖法
新养殖法
根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；
现需从抽取的新、旧网箱中各选箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望．
附：，，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．
证明：；
若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积．
18.本小题分
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试首次测试测试通过率为，末通过测试的芯片进入第二次测试测试，通过率为通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
若某批次生产了枚芯片，合格数为随机变量当，时，求的期望与方差；
已知一枚芯片合格，求其是通过测试的概率；
为估计中的，工厂随机抽取枚合格芯片，其中枚为通过测试记若要使得总能不超过，试根据参考内容估计最小样本量
参考内容：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
设，是的两个极值点，
求证：；
求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可得：，
为非空集合，则，，
当时，，因为，
所以或，解得，故实数的取值范围．
若“”，则，
“”是“”的充分条件，
则，
所以或或，
解得或或，即，
所以实数的取值范围．
16.【答案】解：零假设：箱产量与养殖方法无关，
根据列联表数据可得：．
所以依据小概率值的独立性检验，不成立，
即认为箱产量与养殖方法有关．
根据题意可知，，．
又，
，
，
所以的分布列为：
所以．
17.【答案】证明见解答； ．
18.【答案】，；
；
．
19.【答案】解：时，，在上单调递增，又，
所以，，，，
所以在单调递减，在单调递增．
证明：依题意，即的两根为，，
令，，
，单调递减，，单调递增，则．
令，
则，所以在单调递增，所以，
所以，又，在单调递增．
所以，即．
由，要证明，只需证，
即证明，
即证明
即证明，
即证明，设，，
则，则当时，，则在单调递减，
则，则在上恒成立，从而左边得证．
因为，，且，，
则在和处的切线分别为和，
令，得，
再证明恒成立，
设，则，令，解得，
且时，，单调递减；时，，单调递增；
则，则恒成立，
设，，则在上单调递增，
又因为且大于时，，则恒成立，
所以．
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