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2025-2026学年海南省文昌中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从名省外游客和名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本则样本中省外游客的人数为( )
A. B. C. D.
4.在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.已知平面向量，，满足，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱台上、下底面的边长分别是，，侧棱长为，则正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有关复数，，为虚数单位，下列命题中正确的是( )
A. 是纯虚数
B. 若，则
C. 若复数，则，
D. 在复平面内关于实轴对称的复数为
10.已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是( )
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的图象关于对称
C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
D. 若且，则
11.如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值
C. 若直线与所成角的余弦值为，则
D. 取最小值时，三棱锥外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一组数据为，，，，，，则该组数据的中位数为 ．
13.如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面的两点，，测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，求塔高 米
14.已知垂直于矩形所在的平面，，，，则二面角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面．
16.本小题分
已知函数，，又且图像的相邻的两个对称中心之间的距离为．
求函数的解析式；
设函数，，求函数的最值及取最值时的值．
17.本小题分
随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这人按年龄岁年龄最大不超过岁，最小不低于岁的整数分为组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下：
求实数的值；
估计这人年龄的样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表；
估计这人年龄的第百分位数．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且．
证明：是锐角三角形；
若，求的周长；
在的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．
19.本小题分
已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点．
已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标；
已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点．
设，，试用表示；
若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：Ⅰ取中点，连结，．
在中，，分别为，的中点，
所以，且．
由已知，，
所以，且．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为平面，且平面，
所以平面
Ⅱ在矩形中，．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面．
所以
在直角梯形中，，，可得．
在中，，
因为，所以．
因为，所以平面．
16.【答案】
最大值，此时；最小值，此时
17.【答案】

18.【答案】在中，内角，，的对边分别为，，，
已知，且，
化简整理可得，
根据正弦定理可得，即，
根据余弦定理可知，，故B为锐角，
又，，
所以为锐角，，
所以
，，
所以为锐角，故是锐角三角形

19.【答案】
；的最大值为，此时点的坐标为
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