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2025-2026学年福建省漳州市第二中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点在轴上，且点到点与到点的距离相等，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量单位：与时间单位：之间的关系为：其中，是正常数已知经过，设备可以过速掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近参考数据：
A. B. C. D.
6.对于随机事件，，若，，，则下列不正确的是( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某人工智能公司近年的利润情况如下表所示：
第年
利润亿元
已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 变量与之间的线性相关系数
C. 预测该人工智能公司第年的利润约为亿元
D. 残差绝对值的最大值为
10.已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有( )
A. 函数关于直线对称 B. 是函数的周期
C. D. 方程恰有个不同的根
11.如图，已知正方体的棱长为，是正方形包括边界底面内的一动点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则点在正方形内的运动轨迹长度为
D. 若点为的中点，点为的中点，过，作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设曲线的斜率为的切线为，则的方程为 ．
13.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 ．
14.已知函数，若有三个零点，，，则实数的取值范围为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列中，，．
求的通项公式；
记为的前项和若，求．
16.本小题分
在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的道科学题，道人文题共道题中，随机抽取道作答，每道题答对得分，答错或不答扣分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．
求考生甲得分的分布列和数学期望；
求甲，乙两人中至少有一人得分不少于分的概率．
17.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，离心率为．
求椭圆的标准方程；
过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图，平面，，，，，为的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
求函数的单调区间；
若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】或

16.【答案】解：设学生甲得分的所有取值为，，，，
，
，
，
．
甲得分的分布列为
．
记事件：“甲得分不少于分”，
记事件：“乙得分不少于分”．
，
．
所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于分的概率为：．
17.【答案】
或
18.【答案】解：平面，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，
Ⅰ证明：因为为的中点，所以，
，，，
，
．
Ⅱ，，
设平面的法向量，
则，即，
令得，
，
平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
Ⅲ设且，，
，
则，，，
，
，，
所以，
即，
两边平方，整理得：即，
解得或舍，
，
．
19.【答案】解：函数的定义域为，，
当时，，，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值．
由可知：当时，，在上单调递减；
当时，令，得，，
所以，且为增函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，函数是“函数”，
求导得，
设曲线与直线切点，
则，故，即，
所以且，
设，，易知，且是增函数，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以是方程的根，且唯一，
所以．
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