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2025-2026学年陕西省榆林中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数为( )
A. B. C. D.
2.学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是( )
A. 小明只有一场比赛获奖 B. 小明两场比赛均获奖
C. 小明至多一场比赛获奖 D. 小明两场比赛均未获奖
3.已知且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.乐乐同学在学校的打印社为全班位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：，
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别是，，，，，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的
8.如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的模为
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第三象限
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.如图是棱长为的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与平行
B.
C. 直线、、中，任意两条都是异面直线
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知内角，，的对边为，，，若，，，则 ．
13.已知，是相互独立事件，且，，则 ．
14.已知过球面上，，三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，，则球的表面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数，从所有答卷中随机抽取份分数作为样本，将样本的分数成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如表所示的频数分布表．
样本分数段
频数
求频数分布表中的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
已知落在的分数的平均值为，方差是；落在的分数的平均值为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
16.本小题分
在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是设每人回答问题正确与否是相互独立的．
Ⅰ求乙答对这道题的概率；
Ⅱ求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，、分别是、的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求二面角的大小．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，且的面积等于，求的周长．
19.本小题分
平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．
求证：；
在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，解得，
由，所以，
由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数．
由表可知，分数在的市民人数为人，
成绩在的市民人数为人，
故，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
16.【答案】本小题满分分
解：Ⅰ 记甲、乙、丙人独自答对这道题分别为事件，，，分
设乙答对这道题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件．
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得分
解得，
所以，乙对这道题的概率为分
Ⅱ设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件，丙答对这道题的概率，分
由Ⅰ，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，分
解得分
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为分
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以，所求事件概率为分
17.【答案】证明见解析； 证明见解析； ．
18.【答案】
19.【答案】解：若为中点，连接、，又为的中点．
，由，则，
又为等腰直角三角形，，易知：，
由，、面，则面，
面，．
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，
故
故以为原点，，，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，
，，，，则，，，
若存在使得平面平面，且，，
，，
则，，
若为面的一个法向量，则
令，即，
若是面的一个法向量，则
令，则，
，可得．
存在使得平面平面，此时．
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