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2025-2026学年江西省宜春市上高县第二中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的大小为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型其中为感染人数，为初始感染人数，为传播系数，为发现疫情后的天数，为自然对数的底数已知发现疫情第天感染人数为人，第天感染人数为人若感染人数达到人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第天启动参考数据：，，
A. B. C. D.
6.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点如，，另外两条相对的侧棱交于一点如已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为，则该多面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数为虚数单位的命题，其中真命题为( )
A. 在复平面内对应的点在第三象限
B. 的虚部为
C. 的共轭复数为
D. 若，则的最大值是
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，则( )
A. 该圆锥的体积为
B. 三棱锥的外接球表面积为
C. 的面积的最大值为
D. 三棱锥的体积的最大值为
11.已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是 ．
13.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为为了使，则、两点间距离为 精确到
14.已知函数，则在上的零点为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着暑假的临近，某市景区将再次成为旅游的热门目的地为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分满分分，分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值，并估计评分数据的第百分位数；
若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行单独交流，求选取人的评分等级都为良好的概率．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，点是的中点，．
求证：平面；
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在中，，，点在线段上．
若，求的长；
若，的面积为，求的值．
18.本小题分
如图，两射线、均与直线垂直，垂足分别为、且点在直线上，点、在射线上．
若为线段的中点未画出，求的最小值；
若为等边三角形，求面积的范围．
19.本小题分
如图，直四棱柱的所有棱长均为，，，分别为，的中点．
求证：平面平面；
若动点满足，且，．
若，为上一动点，且平面，求的最小值；
(ⅱ)若，点为三棱锥外接球的球心，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】和
15.【答案】解：由频率分布直方图可知，，解得，
因为的频率为，且为最后一组，
所以评分数据的第百分位数位于区间中，
所以第百分位数为：；
评分在与两组的频率分别为，，
采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，
在内抽取人数为，
故人中评分等级不良好的有人记为，评分等级良好的有人记为，，，
试验的样本空间，，，，，，
设事件“选取人的评分等级都为良好”，则，，，
所以．

16.【答案】证明：连接，交于点，连接，则是的中点，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
证明：因为为等边三角形，且是的中点，
所以，
由正三棱柱的性质知，平面，而平面，
所以，
又，、平面，
所以平面

17.【答案】
18.【答案】解：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得点的纵坐标为，
设，
则，
，
当且仅当时，取得最小值；
设正三角形的边长为，
对于直线上任意一点，对于不同的情况如图所示：
设，则，
则，
在上的投影向量为在上的投影向量为，
，
，，
又，，，
面积的取值范围是．
19.【答案】如图，在直四棱柱中，设，连接，，
直四棱柱的所有棱长均为，且，分别为，的中点，
则，，又因，则，
，易得，，
则，
是二面角的平面角．
又，可得，
平面平面
；
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