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2025-2026学年广东省深圳市高级中学（龙华区北校）八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图标是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若a＞b,则下列不等式成立的是（　　）
A. a+3＜b+3 B. -3a＞-3b C. a-3＜b-3 D.
3.不等式5x-13＜3+x的正整数解有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.用反证法证明在“△ABC中，若∠A≥∠B≥∠C，则∠A≥60°”时，第一步应先假设（　　）
A. ∠A＜60° B. ∠A＞60° C. ∠A=60° D. ∠A≤60°
5.如图，把△ABC沿AC方向平移1cm得到△FDE，AE=6cm，则FC的长是（　　）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　）
A. DE=CD
B. AE=AC
C. ∠EDB=∠BAC
D. AD=BD
7.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
8.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上.若∠ABC=90°，则∠APC的度数为（　　）
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的内角和等于 ．
10.小强在一次检测中，语文74分，英语78分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，列出数学分数x应满足的不等关系为 .
11.如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与BC交于点G.若∠ABC=65°，则∠EAC= °.
12.如图，∠EOF=∠OEF=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若OF=8，则EC等于______．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=4，E是边BC上的一点，F是BC延长线上的一点，G为AF的中点，连接EG.若CF=2BE，则GE的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题10分)
解不等式和不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上.
（1）5（x-3）≤2x-3；
（2）.
15.(本小题6分)
如图，在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（-3，-1），B（-2，-4），C（-1，-2）.
（1）将△ABC向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标为______；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标为______.
16.(本小题9分)
某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种：
甲商品 乙商品
售价（单位：元） 100 20
促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品
促销方案二 甲商品和乙商品都打九折
（备注：参加方案一，则不能参加方案二；参加方案二，则不能参加方案一）
（1）若某单位购买甲商品x件，购买乙商品的件数比甲商品多20件，
选用方案一需花费______元；
选用方案二需花费______元；（用含x的代数式填空）
（2）在（1）问的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同？
（3）在（1）问的条件下，请根据购买甲商品的件数x的不同范围，选择哪种促销方案更合算.
17.(本小题8分)
某校九年级计划购买A、B两种相册共200册作为毕业礼品，已知购买1册A种相册和2册B种相册共100元，买7册A种相册与买6册B种相册的费用相同.
（1）求A、B两种相册的单价分别是多少元？
（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量不少于B种相册数量的，且不超过B种相册的数量，如何制定购买方案，使得总费用最少？
18.(本小题8分)
我们曾研究过“函数y=2x-5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系.发现一元一次不等式2x-5＞0的解集是函数y=2x-5图象在x轴上方的点的横坐标的集合.
结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合.
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过（3，0）和（0，3），则不等式kx+b＜0的解集是______.
（2）如图2，观察图象，不等式2x-1＞x+1的解集是______.
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数y1=-x+1和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C.
①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______；
②在x轴上是否存在点P，使得△ACP为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由.
19.(本小题10分)
【问题引入】
（1）如图①，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），连接BD，若AB=3，求BD的长；
【衍生拓展】
（2）如图②，在△ABC中，AC=BC，AB=6，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），连接CD，当时，求AC的长；
【深入探究】
（3）如图③，在边长为8的等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC所在直线上一动点，连接DE，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°得到线段DF，连接AF、EF.在点E运动的过程中，当点A、D、F在同一直线上时，直接写出线段AF的长.
四、操作解答题：本大题共1小题，共10分。
20.如图，在ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】1080°
10.【答案】≥80
11.【答案】50
12.【答案】4
13.【答案】2
14.【答案】x≤4，
-2≤x＜3，
15.【答案】△ABC向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，如图1即为所求；
（-2，3） △ABC关于原点对称的△A2B2C2，如图2即为所求；
（2，4）
16.【答案】（100x+400）;（108x+360） 5件 购买甲商品小于5件时选择方案二，多大5件时选择方案一
17.【答案】A种相册的单价是30元，B种相册的单价是35元 当购买100册A种相册，100册B种相册时，总费用最少
18.【答案】x＞3
x＞2
①2＜x＜4；②在x轴上存在点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（0，0）或（4+，0）或（4-，0）或（，0），
设点P的坐标为：（a，0），
∵A（2，-1），C（4，0），
∴AP2=（2-a）2+1，CP2=（a-4）2，AC2=5
当AC=AP时，则（2-a）2+1=5，
解得a=0或a=4（舍去），
∴P点坐标为（0，0）；当AC=CP时，则（a-4）2=5，
∴a=4+或a=4-，
∴P点坐标为（4+，0）或（4-，0）；当AP=CP时，则（2-a）2+1=（a-4）2，
解得a=，
∴P点坐标为（，0）；综上所述，在x轴上存在点P，使得△ACP为等腰三角形；点P的坐标为（0，0）或（4+，0）或（4-，0）或（，0）
19.【答案】解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ADE（点B、C的对应点分别为点D、E），
∴∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=3，
∴BD=3；
（2）如图②，在△ABC中，AC=BC，AB=6，连接BD，延长DC交AB于F，

由（1）知，△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=6，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴DC垂直平分AB，
∴∠AFD=90°，，
∴，
∴，
在直角三角形ACF中，由勾股定理得：；
（3）线段AF的长为或．理由如下：
如图③，连接BD并延长，在BD的延长线上取点M，使得DM=DC=4，连接MF，

由旋转的性质可知，DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDM=90°，
∴∠EDC=∠FDM，
在△EDC和△FDM中，
，
∴△EDC≌△FDM（SAS），
∴∠DMF=∠ECD=60°，
则点F在与DM夹角为60°的直线上运动，
过点A作MF的垂线，垂足为F′，当点F在点F′时，AF取得最小值．延长F′M与AC的延长线交于点N，当点A、D、F在同一直线上时，点F与点N重合，
∵∠MDN=90°，∠DMF=60°，
∴∠MND=30°，
在Rt△MDN中，MN=2DM=8，
∴，
∴，
∴当点A、D、F在同一直线上时，或．
20.【答案】解：（1）如图，直线DF，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠C=40°，
∴∠BAC=180°-30°-40°=110°，
∴∠CAD=110°-30°=80°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=40°．
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