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2025-2026学年吉林省第二实验高新学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是一元二次方程的是（　　）
A. x2-2+x3=0 B. x2+2x+3=0 C. y2+x=1 D. =1
2.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上.若线段AB=8，则线段BC长为（　　）
A. 24
B. 32
C. 36
D. 48
3.下列命题中正确的是（　　）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
4.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为α，则这枚火箭此时的高度AL为（　　）
A. 6sinα千米
B. 6cosα千米
C. 6tanα千米
D. 千米
5.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A. =
B. ∠B=∠D
C. =
D. ∠C=∠AED
6.如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程（　　）
A. （30+x）（20+x）=600
B. （30+2x）（20+2x）=600
C. （30-2x）（20-2x）=1200
D. （30+2x）（20+2x）=1200
7.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.点B的坐标是，则点B的对应点B'的坐标是（　　）
A.
B. （6，-1）
C. （3，-1）
D. （1，-3）
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴.若，则线段AB的长为（　　）
A. 1
B.
C.
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若，则= .
10.若关于x的方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
11.若点（-2，y1）、（1，y2）、（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 .（用“＜”连接）
12.如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE=2：3，若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为 .
13.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若S ABCD=16，则阴影部分面积是 .
14.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△FEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤2FH MH=AB2，在以上5个结论中，正确的有 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.计算：
（1）x2-4x-5=0；
（2）2sin60°+cos230°-tan60°+tan45°.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
已知，如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
17.(本小题6分)
如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为52°，测得塔底C的俯角为45°，已知A处距地面AE为96米，求塔高BC.（结果精确到1米）
（参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）
18.(本小题7分)
如图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹.
（1）在图①中，作△ABC的中线AD；
（2）在图②中，在BC上找一点E，连接AE，使得S△ABE=2S△ACE；
（3）在图③中，在AC上找一点P，连接BP，使.
19.(本小题7分)
如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠DAC=∠B，CD=CE.
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE=6，BD=8，AE=4，ED等于______.
21.(本小题8分)
如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以x2-7x+12=0属于同族方程，所以.
（1）以下一元二次方程中是同族方程的是______（填写序号）.
①x2-5x+6=0；
②x2-3x+1=0；
③2x2-3x-2=0；
④x2-4x+4=0.
（2）如果同族方程x2+px+q=0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G=4；
（3）关于x的一元二次方程kx2-（k-3）x-3=0属于同族方程，求正整数k的值.
22.(本小题9分)
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是______；
（2）在下图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；
（4）写出求树高的算式：AB=______m．
23.(本小题10分)
综合与探究
【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE.
（1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC，可知：=______；
（2）猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE.旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.
（3）结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE=______.
（4）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，分别取AB，BC的中点D，E.作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE.分别取AC，DE的中点M，N.当△BDE绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是______.
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3.点P在边AB上（点P不与点B重合），点Q在射线BC上，且BQ=AP，连结PQ，以PQ为对角线作菱形PMQN，使∠MPN=∠A，且点M与点B始终在PQ同侧.
（1）当点AP=1时，连接CP，则△PBC的面积是______.
（2）连结MN，当MN与△ABC的边平行时，求AP的长.
（3）当菱形PMQN与△ABC重叠部分是轴对称四边形时，求AP的取值范围.
（4）当直线MN与边BC所夹锐角正切值等于时，直接写出AP的长.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】m＜9
11.【答案】y2＜y3＜y1
12.【答案】6
13.【答案】
14.【答案】①②③
15.【答案】x1=5，x2=-1

16.【答案】证明：连结BD，与AC交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴EO=FO，
∴四边形BEDF为平行四边形．
17.【答案】塔高BC约为221米．
18.【答案】如图1所示，AD为△ABC的中线，
如图2所示，点E就是所求作的点，
如图3，点P为所求作的图形，

19.【答案】解：（1）设宽为x米，则：x（33-2x+2）=150，
解得：x1=10，x2=（不合题意舍去），
∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为W平方米，则：W=x（33-2x+2），
变形为：W=-2（x-）2+
故鸡场面积最大值为＜200，即不可能达到200平方米．
20.【答案】证明：在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ADB=180°-∠CDE，∠AEC=180°-∠CED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD
8
21.【答案】①④
证明：∵完美方程是有两个相等解的同族方程，即x2+px+q=0有两个相等的实数解，
∴Δ=p2-4q=0，即p2=4q，
∵有意义，
∴q≠0．
∴．
故对任意一个完美方程，总有G=4
正整数k的值为1或3
22.【答案】（1)镜子，皮尺
（2）测量方案示意图；
（3）EA（镜子离树的距离）=a，EC（人离镜子的距离）=b，DC（目高）=c；
（4）
23.【答案】
猜想CE=BD，证明如下：
∵点D和点E为分别为AB，AC的中点，
∴由图1可知，AB=AB，AE=AC，
∴，
∴，
∵∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，
∴cos∠BAC==，
根据旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴CE=BD
2
4
24.【答案】
或
或
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