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2025-2026学年山西省吕梁市汾阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.哈尔滨市某月连续天的空气质量指数分别为，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.设复数是虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为( )
A. B. C. D.
5.九章算术中将正四棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为，，方亭的高为，则方亭的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则( )
A.
B.
C.
D.
7.早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字如果用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为( )
A. B. C. D.
8.为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是平面内两个不共线的向量，则下列各组向量中，能作为该平面一组基底的有( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长均为的正三棱柱中，为的中点，则( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 若，分别为，上的点，则的最小值为
D. 若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则 ．
13.为弘扬科技创新精神，学校准备了张航天主题、张人工智能主题的科普宣传海报，现从中随机抽取张，则抽到的两张海报为不同主题的概率是 ．
14.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的同学是 ．
甲平均数为，中位数为
乙中位数为，众数为
丙平均数为，方差为
丁中位数为，方差为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围．
在虚轴上；
在第二象限；
在的图象上．
17.本小题分
为丰富校园文化艺术氛围，落实校园美育工作，该校举办校园原创美术作品征集评比活动活动结束后，学校教研处随机抽取了校内名学生男生、女生各人的参赛美术作品进行统一匿名评分，所有作品评分分数构成统计样本，具体评分分数分布统计结果如图所示．
请根据频率分布直方图，估计样本数据的平均数、中位数；中位数保留两位小数
若成绩不低于分为“优秀”，这个样本数据中成绩为优秀的女生为人，视频率为概率，从该校随机抽取一名男生，一名女生，求名学生中至少有一个优秀的概率．
18.本小题分
在中，，．
求；
在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值．
；
；
面积为．
19.本小题分
如图，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，且．
证明：平面；
证明：平面平面；
若，求平面与平面的夹角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】丙
15.【答案】
16.【答案】或

17.【答案】；

18.【答案】
选：不存在；选：；选：
19.【答案】证明：记，的交点为，，的交点为，连接，
因为，是三角形的中线，所以，
因为，所以∽，
所以，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面 证明：由可知，，，
所以，所以，
因为，所以，
因为，分别为，的中点，所以，且，
所以∽，
所以，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以，
所以，又，是平面内的相交直线，
所以平面，
又平面，
所以平面平面
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