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2025-2026学年云南省德宏州芒市第一中高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量=（6，x），=（2，-3），若⊥，则x=（　　）
A. -9 B. 9 C. -4 D. 4
2.已知复数，则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（　　）
A. 193 B. 192 C. 191 D. 190
5.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（　　）
A. 若m∥α，m∥β，则α∥β B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β
6.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知c=1，a2+b2=ab+1，则sinC=（　　）
A. B. C. D.
7.小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列说法错误的是（　　）
A. 月跑步里程出现波动性
B. 月跑步里程最大值出现在10月
C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大
8.某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（　　）
A. 444π
B. 300π
C. 2268π
D. 612π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（　　）
A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数
C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为
10.已知事件A，B满足P（A）=0.4，P（B）=0.2，则下列说法正确的是（　　）
A. 若A与B互斥，则P（A∪B）=0.52 B. 若B A，则P（AB）=0.08
C. 若A与B相互独立，则 D. 若P（A∪B）=0.52，则A与B相互独立
11.正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形.如图，正八面体EABCDF的棱长为5，M为棱FC上一点，且CM=1，则（　　）
A. 平面EDC∥平面FBA
B. 该正八面体外接球的表面积为50π
C. 二面角E-AD-F的余弦值为
D. 异面直线AE与BM所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若平面向量，，则在上的投影向量为 .（用表示）
13.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为 .
14.如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得α=75°，β=45°，CD=20米，在点C测得塔顶A的仰角θ=60°，则塔高AB为 米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响.
（1）求乙每轮投中的概率；
（2）求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2ccosC.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，AB=AA1=4.
（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1.
18.(本小题17分)
随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）；
（2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
19.(本小题17分)
已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，△PDB是等边三角形.
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）求直线PC与平面ABCD所成角的大小；
（3）求点D到平面PBC的距离.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】CD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】20
15.【答案】；
．
16.【答案】； ．
17.【答案】连接A1C，交AC1于点E，连接DE．正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1为矩形，所以E为A1C中点．又点D是BC的中点，所以ED∥A1B．因为ED 平面ADC1，A1B 平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1
正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，且BB1⊥平面ABC．因为点D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD 平面ABC，所以BB1⊥AD．因为BC，BB1 平面BCC1B1，BC∩BB1=B，所以AD⊥平面BCC1B1．又AD 平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1
18.【答案】（1）x=0.02；平均数为74（分）；中位数为分 （2）288 （3）
19.【答案】因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，
所以PO⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
又PO∩BD=O，且PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD
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