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2025-2026学年辽宁省大连理工大学附属高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，满足，则x的值为（　　）
A. -6 B. C. D. 6
2.若角α的终边上有一点P（-3，m），且，则m=（　　）
A. 4 B. ±4 C. -4 D.
3.函数的图象可由函数y=tan2x的图象（　　）个单位得到.
A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
5.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.一艘船从A处出发，以40nmile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东30°的方向上，30min后船航行至B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离是（　　）
A. B. C. 20nmile D.
7.已知α，β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（　　）
A. 若m∥α，n⊥α，则m⊥n
B. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C. 若m∥n,m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
D. 若α⊥β，α∩β=m,n α，n⊥m,则n⊥β
8.已知A（3，0），B（0，4），复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，，则的最小值为（　　）
A. -6 B. -5 C. -4 D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与的夹角为30°
D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A. y=f（x）的图象关于直线轴对称
B. f（x）在区间上单调递增
C. 将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y=2sin
D. 函数h（x）=f（x）-log2（x+1）在区间[0，π]上有且仅有一个零点
11.下列命题中，正确的是（　　）
A. 在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
B. 在锐角三角形ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C. 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα=2.且π＜α＜2π则的值等于 .
13.已知cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β）= .
14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1-2i（i为虚数单位）.
（1）若z z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数及|z0|；
（2）若z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根，求实数m的值.
16.(本小题15分)
已知向量=（2，），=（cosθ，sinθ）.
（1）若，求|+|；
（2）若⊥，求.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=sinxcosx+.
（1）证明：f（x+π）=f（x）；
（2）求f（x）图象的对称中心；
（3）若α为锐角，且，求.
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为A1C1的中点.
（1）求证：平面BCD⊥平面ACC1A1；
（2）已知，BC=4.
（i）求点B1到平面BCD的距离；
（ii）若点E在AB上，且A1E∥平面BCD，求的值.
19.(本小题17分)
若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b+c=2acosB.
（1）求证：△ABC是倍角三角形；
（2）已知△ABC为锐角三角形，c=2.
（i）若△ABC的面积为1，求tanA；
（ii）若D点满足，求线段CD长度的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】（-1，1）
15.【答案】，；
2
16.【答案】解：（1）θ=时，=（，），
+=（，），所以|+|==；
（2）若⊥，则 =2cosθ+sinθ=0，
所以tanθ=-，tan（θ+）==-．
17.【答案】解：（1）证明：f（x）=
=
=，
可得f（x+π）==sin（2x+），
因此f（x+π）=f（x），得证；
（2）令2x+=kπ（k∈Z），解得，
所以f（x）图象的对称中心为（k∈Z）；
（3）已知，即，
因为α为锐角，即，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为2）=，
又因为，
所以，
则，
因为α为锐角，
所以，
所以．
18.【答案】解：（1）证明：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，所以C1C⊥BC，又AC⊥BC，且C1C∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACC1A1；
（2）（i）由（1）平面BCD⊥平面ACC1A1，平面BCD∩平面ACC1A1=CD，
在平面ACC1A1内过C1作C1F⊥CD于F，
则C1F⊥平面BCD，
又，BC=4，
所以根据等面积法可得C1F==，
即C1到平面BCD的距离为，
又B1C1∥BC，B1C1 平面BCD，BC 平面BCD，
所以B1C1∥平面BCD，
所以B1到平面BCD的距离等于C1到平面BCD的距离，
故点B1到平面BCD的距离为；
（ii）取A1B1中点G，则易知BC∥DG，
所以平面BCD即为平面BCDG，
若点E在AB上，且A1E∥平面BCD，
又A1E 平面ABB1A1，且平面ABB1A1∩平面BCDG=GB，
所以A1E∥GB，又G为A1B1中点，
所以E为AB中点，
所以=．
19.【答案】解：（1）证明：因为b+c=2acosB，由正弦定理，得sinB+sinC=2sinAcosB，
又C=π-A-B，所以sinC=sin（A+B），
所以sinB+sin（A+B）=2sinAcosB，
即sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
整理得，sinB=sin（A-B），因为A，B为三角形内角，
所以B=A-B或B+（A-B）=π，即A=2B或A=π（舍去），
所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以△ABC是倍角三角形；
（2）（i）由（1）A=2B，又A+B+C=π，所以C=π-3B，
由正弦定理，得，c=2，则，
因为sin3B=sin（B+2B）=3sinB-4sin3B=sinB（3-4sin2B）=sinB（4cos2B-1），
所以，a=2bcosB，
由，
即2bcosBsinB=1，所以，
整理得，，即2sinA=2cosA+1，
两边平方得，4sin2A=4cos2A+4cosA+1，
所以8cos2A+4cosA-3=0，因为△ABC为锐角三角形，
解得，（舍去），
所以，所以；
（ⅱ）因为△ABC为锐角三角形，所以，即，
由正弦定理，得，即，
由（2）知sin3B=sinB（4cos2B-1），
所以，，
因为，所以，
，
所以，
又cosC=cos（π-3B）=3cosB-4cos3B，
令t=cosB，，所以，4t2-1＞0，
所以，cosC=3t-4t3，
所以
=，
令u=4t2，u∈（2，3），则，
所以，令m=u-1，m∈（1，2），
=，m∈（1，2），
所以，所以．
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