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2026年内蒙古自治区赤峰市松山区中考第三次学情自测数学试题
一、单选题
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
6．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）

A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值
C．当时， D．当时，
8．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．分解因式：_________．
10．如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________．
11．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为________．
12．如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________．
三、解答题
13．计算化简求值
(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中是由你选择的最喜欢的整数．
14．为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(2)直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组；
(3)该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
15．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）：
线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元）
第一批
第二批
(1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元；
(2)若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？
16．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，．
(1)求的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)连接，过点E作于点H，若，，求的长．
17．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
18．如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．

(1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．
①求证：是的中点；
②求；
(2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．D
【详解】解：∵，是正数，
∴ A不符合题意．
∵，是正数，
∴ B不符合题意．
∵，是正数，
∴ C不符合题意．
∵，是负数，
∴ D符合题意．
2．C
【详解】解：组合体的左视图为：
左视图的面积为，
故选：C．
3．B
【详解】解：．
4．D
【详解】解：选项A：∵表示9的算术平方根，结果为非负数，∴，A错误．
选项B：，结果不为，B错误．
选项C：，结果不为，C错误．
选项D：，运算正确．
5．D
【详解】解：1尺寸．
根据题意可得（寸）．
设圆的半径为R寸，
在，的长为寸，
则
∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）．
故选：D．
6．C
【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：
∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能，
∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：．
故选：C．
7．B
【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意；
D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
8．C
【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N
∵正方形的边长为3，
∴
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度
∵
∴
∴．
故选：C．
9．/
【详解】解：，
故答案为：．
10．9
【详解】解：∵，
∴，
∵与位似，
∴，
∴．
11．
【详解】解：如图，作轴与，连接，
∵原点O为正六边形的中心，
∴，,
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
∵点也在双曲线上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
12．
【详解】解：如图所示，延长与的延长线相交于点F，
，平分，则是等腰三角形，，
，，
，
和是对顶角，
，
，则，
设．
．
，
，
，则，
，得，
则．
故答案为：．
13．(1)
(2)，，当时，原式
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
；
由分式的分母不为零及除式不为零得
即，
故可选，
当时，．
14．(1)100，
(2)B组
(3)600(人)
【详解】（1）解：这次调查活动共抽取（人），
∴这次抽样调查的样本容量是100，
C组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：100；；
（2）解：B组的学生有：（人），
样本的最中间的2个数据是第50和51个，
而，
故平均每周劳动时间的中位数在B组；
（3）解：（人）．
∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人．
15．(1)该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元
(2)当线下采购该水果时最省钱
【详解】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
∴
∴当线下采购100kg时，该水果时最省钱．
答：当线下采购该水果时最省钱．
16．(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
∵是的平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，．
∵，
∴
∵，，
∴，，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
在中，．
17．(1)抛物线表达式为
(2)①（）；②存在，是等腰三角形时，或或
(3)线段长度的最小值
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于，
，，，
，
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①设直线解析式为，代入，，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
，，
，
（），
②存在：
，
而，
当时，，
解得：或（舍），
，
；
当时，，
整理得：，
解得：或（舍），
，
；
当时，，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
；
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
，，，
，
，
，
∴当时，，
，
，
∴线段长度的最小值．
18．(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：①，
为的中点，
，
是边的中点，
，
，
在中，
∴，
又∵，
，
，
是的中点；
②，
四边形为平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
（2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下：
连接交于点，如下图：

由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点，
，
又，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的中点，
，
，
为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
．

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