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2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四学制）
一、单选题
1．已知点A（﹣2，y1）、B（3，y2）在反比例上，若y1＜y2．则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜2 C．a＞2 D．不确定
2．已知公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，则sin75°的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接AB，AC，BC．则tan∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．1
4．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则cos∠BOD的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（　　）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
A．抛物线开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当0＜x＜2时，
D．y的最大值为
6．二次函数y＝﹣ax2+a与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图是二次函数y＝a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+3）2+2＞0的解集是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＞﹣5 C．﹣3＜x＜1 D．﹣5＜x＜﹣1
8．如图．已知点A和C是反比例函数（k1≠0）图象上的点，点B和D是反比例函数（k2≠0）图象上的点，AB＝3，CD＝6，AB∥x轴，CD∥x轴，AB与CD到x轴的距离和为9，则k2﹣k1＝（　　）
A．9 B．16 C．18 D．20
9．已知平面直角坐标系中有两个二次函数y＝a（x﹣1）（x+7）及y＝b（x+1）（x﹣15）的图象，将二次函数y＝b（x+1）（x﹣15）的图象依下列哪一种平移方式后，会使得此两图象对称轴重叠（　　）
A．向左平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度
C．向左平移10个单位长度
D．向右平移10个单位长度
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c﹣2（a≠0）的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＜﹣2；④4a﹣2b+c＜0．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 　 　 ．
12．使函数y＝+（2x﹣1）0有意义的x的取值范围是　 　 ．
13．抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线y＝﹣x+2上，则该抛物线解析式为 　 　 ．
14．如图，点A在双曲线上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线BD交x轴于点B，△ABC的周长为4，则点A的坐标　 　 ．
15．函数（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是　 　 ．
16．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣2（a≠0），对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设m≤x1≤m+2，当x2≥4时，y1＜y2恒成立，则m的取值范围是　 　 ．
三、解答题
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，在△ABC中截出一个矩形DEFG，设EF＝x，S矩形DEFG＝y．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）自变量x的取值范围 　 　 ．
（3）若1≤x≤4，则此时y的最大值是 　 　 ．
18．3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
（参考数据：≈1.414，≈2.646）
19．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元（50≤x≤55）．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式？
（3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？
20．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四学制）
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C A D C C C
二、填空题
11．k≤3，且k≠0．
12．x＞﹣3且．
13．y＝﹣x2+2x．
14．（3，1）．
15．y2＞y1＞y3．
16．0＜m＜2．
三、解答题
17．解：（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AN⊥BC，
∴，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
即，
则．
；
（2）令y＝0，则，
解得：x＝0或x＝16，
∵a＜0，
∴自变量x的取值范围0＜x＜16；
（3）∵a＜0，
对称轴是：x＝8，
若1≤x≤4，则y随x的增大而增大，
故x＝4，y最大，
此时y的最大值是．
18．解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得，∠BAC＝15°+45°＝60°，AB＝200米，AC＝300米，
在Rt△ABD中，sin60°＝，cos60°＝，
解得BD＝，AD＝100，
∴CD＝AC﹣AD＝200米，
∴由勾股定理得，BC＝＝≈265米．
∴B、C两地的距离约为265米．
（2）该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米，理由如下：
过点B作航道的垂线BE，
由题意得，AB＝200米，∠BAE＝45°，
在Rt△ABE中，sin45°＝，
解得BE＝≈141，
∵141＜150，
∴该条航道会被这片浅滩区域影响．
设BF＝150米，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝50（米），
根据对称性可知，被影响的航道长度为100米．
19．解：（1）若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
由题意，得y＝90﹣3（x﹣50），即y＝﹣3x+240（50≤x≤55）；
（2）由题意，得w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600．（50≤x≤55）
（3）w＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200，
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＜60时，w随着x的增大而增大，
∵50≤x≤55
∴当x＝55元时，w的最大值为1125元．
∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元．
20．解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E（8，1），
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y＝；
②当y＝4时，x＝2，
∴F（2，4），
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OG＝；
（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4﹣＝﹣m2+4m+16＝﹣（m﹣2）2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．

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