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2024-2025学年度初三上 数学 第二次诊断性检测
总分：120分 时间：120分钟
选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1、2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
3、若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ）
A．25 B． C． D．
4、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5、在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则这次酒会的人数为（ ）
A．19 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人
如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心O．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7、已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9、如图是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．它的截面示意图（小格的厚度忽略不记）通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6题 8题 9题 10题
10、如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11、“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ．
12、机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　m/s．
13、数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　 　.（精确到0.01）
14、如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则 的度数为
15、如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为
11题 12题 14题 15题
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16、已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，请适当方法解此方程；
(2)若方程有两个相等的实数根，则k的值为________；
17、我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题．
18、中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“C黑火药”的概率为______．
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19、利用以下素材解决问题．
问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
任务 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
【深入探究】（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，则△CEF的面积为 ．
23、综合运用
已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过A、两点的圆与直线相切，求点的坐标．
（4）如图3，点M是直线EC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线EC下方），已知MN＝1，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
2024-2025 学年度初三上 数学第二次诊断性检测答案
1、【答案】D． 2、【答案】C 3、【答案】C 4、【答案】B 5、【答案】C
6、【答案】D 7、【答案】D 8、【答案】B 9、【答案】A 10、【答案】A
11、【答案】相交 12、【答案】4． 13、【答案】0.53 14、【答案】 15、【答案】1
16、【详解】（1）解：把代入方程，得：
，------------------------------1分
，
，
，
∴；------------------------------5分
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，------------------------------7分
17、【答案】解：设矩形的长为x步，列方程得------------------------------1分
．------------------------------3分
解得，．------------------------------5分
∴矩形的长为36步，宽24步， (步)．------------------------------6分
答：长比宽多12步．------------------------------7分
18、【答案】（1）；------------------------------2分
（2）画树状图为：
------------------------------5分
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种．------------------------6分
∴P（至少一张卡片图案为“A指南针”） ．------------------------------7分
19、【答案】解：方案一，设圆的圆心为O，连接．
∵，∴．
∵，∴，直线过点O．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴是等边三角形．∴．故半径为．------------------------------5分
方案二，∵顶点C坐标为，∴设桥拱的函数解析式为．
∵，∴．代入得．解得．
故函数解析式为．------------------------------9分
20、【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，∴NE＝NB，∴∠B＝∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠NEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EN，
∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；------------------------------4分
（2）解：如图，连接ON，
∵MN是BE的中垂线，∴NE＝NB，
设EN＝x＝BN，在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，∴OC2+CN2＝OE2+EN2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，即EN＝．------------------------------9分
21、【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，∴反比例函数表达式为 ；------------------------------2分
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；------------------------------5分
（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°∴∠BEH＝∠ABF，∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．∴点E（3，4）．------------------------------9分
22、【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，∴△ABC≌△CED（AAS）；------------------------------3分
（2）PC＝PD，理由如下：------------------------------4分
∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，∴△ACF≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠PDC，∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；------------------------------7分
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，∴∠PED＝90°，∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，∴∠PDE＝∠DEF，∴EF＝DF，∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；------------------------------10分
②△CEF的面积是30．------------------------------13分
23、【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，
∴ 解得，故抛物线解析式为，；------------------------------3分
（2）∵中，时， ∴，
∵，∴对称轴为直线，∴，
∴，，∴，
当时，过P作轴于点Q 则，
∴，∴，∴，∴；
当时，
∵，∴，；
故点P的坐标为：，或，或；------------------------------7分
（3）设切点为G，直线与x轴交于点H，连接，，
∵抛物线解析式为，∴顶点
设直线的解析式为，∵，∴，解得，
∴直线的解析式为∴ 时，，∴，
∵，∴，∴∴．
∵，∴，∴，
∵，∴
∵在中，，∴
设，则，，∴，
解得
∴或．
故点F的坐标为：或．------------------------------11分
(4)点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或1≤xM≤：．------------------------------14分

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