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8.1 平方根 暑期专项练习2025-2026学年人教版
七年级数学下册
一、单选题
1．下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．0 B． C． D．4
2．25的平方根是（ ）
A． B． C．5 D．625
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是和
C．没有平方根 D．的平方根是和
4．已知一个正数有两个不同的平方根，分别为和，则这个正数是（ ）．
A．25 B．16 C．4 D．2
5．制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．5
7．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
8．将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（ ）
A． B． C． D．
9．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（ ）
A． B． C． D．
10．将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（ ）
A． B． C． D．
11．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题
12．将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________．
13．当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v（单位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．已知的大小满足，其中是地球表面的重力加速度，约等于9.8（单位：），R是地球半径，约等于（单位：m），那么第二宇宙速度约为_____．
14．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下：
… …
… …
根据以上规律，若，，则____________．
15．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．
16．在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知．
(1)求a的值；
(2)求的平方根．
19．三八妇女节到来之际，我校准备购进一批贺卡送给女教师们，贺卡原价8元/张，甲、乙两家商店优惠方式如下：
甲商店：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商店：一次性购买不超过20张不优惠，超过部分打八折．
设我校准备购买张贺卡，
(1)用含的式子分别表示到甲、乙两家商店购买贺卡的费用；
(2)当我校购买多少张贺卡时，两家商店的费用相同？
(3)已知贺卡是一张面积为的正方形，另有一个长宽比为的长方形信封，面积为，请问能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？（放入时贺卡与信封的边平行）请通过计算说明你的判断．
20．如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π的圆？并计算说明．
21．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：；
第②个等式：；
第③个等式：；
第④个等式：；
．．．
【规律发现】
(1)计算：　　　　；　　　　；
(2)若，则正整数　　　　；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D D C B B A
题号 11
答案 B
1．C
【详解】解：根据平方根的性质可知：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，
∴没有平方根．
2．B
【详解】解：25的平方根是．
3．D
【详解】解：对应选项A：∵，
∴的平方根是，故A错误；
对于选项B：∵，的平方根是，
∴的平方根是，故B错误；
对于选项C：，正数有平方根，故C错误；
对于选项D：∵ ，
∴的平方根是和，故D正确．
4．A
【分析】正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程求出，再计算出这个正数即可．
【详解】一个正数的两个不同平方根互为相反数，
，
解得，
将代入，得，
这个正数为．
5．D
【分析】设这个正方体的棱长为，根据已知表面积列方程求解即可．
【详解】解：设这个正方体的棱长为，
∵正方体的表面积为，
∴，
∴，
∴这个正方体的棱长为．
6．D
【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且，
∴，
由得，
将代入，得，
解得，
将代入，得．
7．C
【分析】先将的值代入能量公式求出，再根据无理数的估算方法求出的范围即可求解．
【详解】解：当时，，
∵，
∴，即，
∴该微观粒子的能量的值在和之间．
8．B
【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为，根据橡皮泥的体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可．
【详解】解：设长方体的底面边长为，
则，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
即长方体的底面边长为，
故选：B
9．B
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码，
∴数对应的密码为，
∵数对应的密码约为，
∴，
∴．
10．A
【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答．
【详解】解：根据数的排列方法可知，
第一排：1个数，
第二排：2个数，
第三排：3个数，
第四排：4个数，
…，
第排：个数，
规律：从第一排到排共有个数，
，
根据数的排列方法，每四个数一个循环，
由可知是第5排第4个数是，
表示第9排第9个数，而
，
即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数．
，
表示的数为循环中的第1个数：，
与表示的两数之积为
∴两数之积为．
11．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
12．
/6厘米
【分析】根据题意可知，正方体铁块的体积等于水位上升部分的圆柱体体积，利用正方体体积公式和圆柱体体积公式列方程求解即可得到底面半径．
【详解】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为.
由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为：
.
水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为：
.
根据题意可得方程：
化简方程得：
∴
因为圆的半径为正数，因此．
13．11.2
【分析】本题考查代数式求值，算术平方根的应用，把字母的值代入，再求出算术平方根即可．
【详解】解：把，代入，得：，
∴；
故答案为：11.2．
14．
【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果．
【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，
，且是的小数点向左移动两位得到的，
．
15．8
【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为，
∴，，两个长方形的宽为，
∵，
∴，，
∴长方形A与长方形B的宽为，
∴长方形B的面积为．
16．
【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数．
①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可；
②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可．
【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为
由此可知；
设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．
令，则，则的整数部分为，且，
当时，，的整数部分为，满足条件，故．
∵，
∴，即，
，，且，
的最小值为；
故答案为：；．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据去括号解一元一次方程的步骤，逐步求解即可；
（2）先移项，再系数化为1，最后根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项及合并，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
移项，得，
系数化为1，得，
解得．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键．
（1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a，
（2）求出b，根据平方根的概念计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
解得： ，，
.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
19．(1)甲商店的费用为：，乙商店的费用为：
(2)当购买40张贺卡时，甲乙商店的费用一样
(3)正方形贺卡不折叠无法放入长方形信封中，见解析
【分析】（1）根据优惠方案及购买的数量，依据单价数量总价，即可求出代数式；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出长方形信封的宽和正方形卡片的边长，然后比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
甲商店的费用为：
乙商店的费用为：；
（2）解：令，
解得：，
当购买40张贺卡时，甲乙商店的费用一样；
（3）解：长方形信封的长宽比为，
设长方形信封的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴，
∵正方形贺卡边长为，
∵
∴长方形信封的宽，
∴贺卡不折叠无法放入信封．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、算术平方根的应用，正确列出代数式，根据题意列方程是解题的关键．
20．3个
【分析】根据长方形的长宽比及面积求出长方形的长，再根据圆的面积求出圆的半径、直径，最后用长方形的长除以圆的直径，即可求解．
【详解】解：∵长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，
∴设长方形的长为，宽为，
由题意知，，
∴，
∵ ，
∴，
∴长方形的长为，宽为．
设圆的半径为r，则，
∴，
∵ ，
∴，
∴圆的直径，
，
∵ ，
∴，
∴在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出3个面积为16π的圆．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用、估计算术平方根的取值范围等，利用算术平方根得出长方形的长和圆的半径是解题的关键．
21．(1)
42，110
(2)
14
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简．
（1）直接利用规律计算；
（2）利用规律列方程求解；
（3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
即，
解得（舍去）．
（3）解：原式
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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