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8.3 实数及其简单运算 暑期专项练习2025-2026学年人教版
七年级数学下册
一、单选题
1．下列实数中，是有理数的为（ ）
A． B． C．0 D．
2．在实数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．-2 D．
3．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（ ）两个相邻的整数之间
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
5．在实数、、π、 中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．观察下列有规律的等式：
；；；；；
……
则第个等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（ ）
A． B． C． D．
8．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________．
12．如图，数轴上两个点、表示的数分别为0和3，线段沿的方向平移到，点在线段上，的长为无理数，写出一个满足条件的长为____________．
13．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
14．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推．
（1）当时，______；
（2）当时，______．
15．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图为一个数值转换器．
(1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______；
(2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值；
(3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？
18．阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”）
(2)已知，且，若，，试比较A和B的大小．
19．如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题．
(1)正方形的边长是__________；
(2)点表示的实数是__________；
(3)能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由；
(4)将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）．
20．解答下列问题：
(1)如图1，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____；
(2)阅读下面对话，然后解答问题：小丽：我想在一块面积为且长宽之比为的长方形纸片中，沿着边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，不知能否裁出？
小明：用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，那肯定行．
你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．（提示：）
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B A B C C C
1．C
【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数．
【详解】解：A．是开方开不尽的数，是无理数.
B．是无限不循环小数，是无理数.
C．是整数，整数属于有理数.
D．，是开方开不尽的数，因此是无理数．
2．D
【分析】利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则求解即可．
【详解】解：∵ ，，，，
∴ 正数都大于负数，只需比较两个负数的大小，
∵，，且，
∴ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，
∴，即四个数中最小的数是．
3．B
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
（两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数．
综上，无理数有2个，
故选：B．
4．A
【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相邻整数的立方之间即可得到解．
【详解】解：正方体的体积为棱长的三次方，
该正方体铁块的棱长为，
，，，
该正方体铁块的棱长位于3和4之间．
5．B
【详解】解：∵是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；
又∵是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；是无限不循环小数，属于无理数；
∴ 无理数共有个.
6．A
【分析】本题为规律探究题，分别观察等式各部分与序号的关系，归纳得到规律，即可得到结果．
【详解】观察给出的等式：
第1个等式中，根号内被减数为1，分数分子为1，分母为，等式右边系数为1，
第2个等式中，根号内被减数为2，分数分子为2，分母为，等式右边系数为2，
第3个等式中，根号内被减数为3，分数分子为3，分母为，等式右边系数为3，
依此类推，可得第个等式中，根号内被减数为，分数分子为，分母为，等式右边系数为，根号内分数为，
第个等式为，
即选项A正确．
7．B
【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案．
即可得出，再计算即可得出结论．
【详解】解：四边形是长方形，
，
由操作可知：，，，，
是等腰直角三角形，
，
∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，
∴设，则，
．
8．C
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
9．C
【分析】先通过平方运算确定的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入所求代数式化简计算即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
将，代入，得
．
10．C
【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的整数部分和小数部分分别是，
∴，，
∴．
11．/
【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
又∵，
∴，
∴，，
∴的整数部分，的整数部分为，
∴的小数部分，
∴．
故答案为：．
12．
（答案不唯一）
【分析】根据平移的性质得出 ，由点在线段上确定的取值范围，在此范围内选取一个无理数即可 ．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵数轴上两个点、表示的数分别为0和3，且点在线段上，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵的长为无理数，
∴的长可以为 ．
13．
【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解．
【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数，
∵，，，，
∴能被墨迹覆盖的数是．
14． 2 /
【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可；
（2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和．
【详解】（1）当时，，
；
（2）当时，
，
，
，
因此结果每3个数为一个循环周期，
一个周期内的和为，
，
．
15．239
【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和运用，以及对平方根和取整运算的掌握．解题关键在于理解根整数的定义，通过分析连续求根整数运算的过程，找出满足进行次连续求根整数运算后结果为的正整数的取值范围，进而确定最大值和最小值．只需找到进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数的最小值和最大值，并计算其差值即可求解．
【详解】根据操作定义，进行次操作后结果为，且前两次操作结果均不为．第二次操作结果必须为2或3．
当时，则第一次操作结果，对应的取值范围为：
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
综上，，且为整数．
当时，，对应的取值范围为：
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
时，，且为整数；
综上，，且为整数．
因此，所有满足条件的的取值范围为，最小值为，最大值为，差值为．
故答案为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
17．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可；
（2）逆向运用数值转换器计算即可；
（3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案．
【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子，
当时，；当时，，再将代入得；
（2）解：当时，，则；
（3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身，
∴当或1时，始终输不出值．
18．(1)
(2)
【分析】（1）两数作差，根据可求；
（2）根据，且，求得，两式作差进而求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
(3)不能，理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，
根据题意，得，
解得：，
，，
正方形纸片的边长为，，
裁不出满足上述条件的纸片
(4)
【分析】（1）根据正方形的面积为，正方形的面积等于边长的平方即可得出正方形的边长；
（2）由同圆半径相等得等于正方形边长，结合点在数轴上表示的数，向右平移对应长度，即可计算得出点表示的实数；
（3）按长宽的比例设未知数，根据长比宽多列方程求出长与宽，再将宽与正方形边长比较，即可判断能否裁出符合条件的长方形；
（4）明确正方形内最大圆为内切圆，其直径等于正方形边长，代入圆的周长公式计算即可得出圆形纸片的最大周长．
【详解】（1）解：∵正方形的面积是，
∴正方形的边长是；
（2）解：点表示， 且在正半轴，
∴表示的实数为；
（3）略
（4）解：正方形内最大圆直径等于正方形边长，
∴圆形纸片周长的最大值是．
20．(1)
(2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，说明见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键．
（1）根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长；
（2）设所裁长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积得出，求出，得出长方形纸片的长，再进行比较即可判定．
【详解】（1）解：∵由5个面积都是的小正方形，
∴正方形的面积为，
∴大正方形的边长为；
（2）解：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：
设长方形纸片的长为，则宽为，
依题意得：，
即，
∵，
∴，
∴长方形纸片的长为，宽为，
∵，由正方形纸片的面积为，可知其边长为，
∵，
∴长方形纸片的宽小于正方形纸片的边长．
答：不能用这块纸片裁出符合要求的正方形纸片．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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