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10.1 二元一次方程组的概念 暑期专项练习2025-2026学年
人教版七年级数学下册
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．1
3．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列是二元一次方程的一组解的是（ ）
A． B． C． D．
6．方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ）
A． B． C． D．
7．二元一次方程的正整数解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．金秋时节的果园里硕果累累，果农采摘了新鲜的草莓，为了方便售卖，准备用大、小两种箱子分装，其中每个大箱能装5千克草莓，每个小箱能装3千克草莓．现果农采摘的草莓共70千克，根据市场销售需求，大小箱都要使用，并且每箱都要装满，则这位果农的装箱方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．商店里有A、B、C三种商品，单价分别为50元，30元，10元．若田同学购买了其中两种商品，共花费140元，则田同学的购买方案有（ ）种
A．3 B．7 C．10 D．12
10．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．小明打算用36元钱购买A，B两种黑水笔，且两种黑水笔均需购买，已知A种每支3元，B种每支4元，若36元恰好用完，则购买方案有________种．
12．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是________．
13．如果是关于x、y的二元一次方程，则______．
14．“马年开启，瑞马相伴”．若一个正整数是偶数，且各位数字之和为，则称这个数为“瑞马数”．例如，是“瑞马数”．在，，，，，这个数中，两位数的“瑞马数”有______个，所有“瑞马数”共有______个．
15．一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上数字与个位上数字之和的2倍，则称这个四位数为“二倍数”，例如：4593，2241都是“二倍数”．对于“二倍数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则__________；若“二倍数”百位上数字与十位上数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“二倍数”中的最大值为__________．
三、解答题
16．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解．
(1)求a，b，c的值；
(2)求方程满足，的非负整数解．
17．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：_______
(2)填空：将写成矩阵形式为：_______
(3)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值．
18．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值
19．学校食堂采购员小王去超市采购鸡蛋，超市里鸡蛋有A，B两种包装，其中各鸡蛋品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：
A包装盒 B包装盒
每盒鸡蛋个数（个） 6 16
每盒价格（元） 5 11
(1)若小王购买了A，B两种包装共15盒，一共买到180个鸡蛋，请问小王花了多少钱？
(2)若小王购买A，B两种包装的鸡蛋恰好花了180元（A，B两种包装的鸡蛋都要购买），请写出所有购买方案，并求出小王最多可购买多少个鸡蛋？
20．某数学小组在探究二元一次方程的“图象”时，以二元一次方程的任意一组解为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，所有满足该方程的解对应的点都在同一条直线上，因此把这条直线叫作这个二元一次方程的“图象”．
如下图，二元一次方程的“图象”与坐标轴交于A、B两点，将二元一次方程的“图象”向上平移3个单位长度后与坐标轴交于C、D两点．点在的“图象”上，且满足．
(1)请写出二元一次方程的一组解________；（写出一组即可）
(2)探究、、的数量关系；
(3)y轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A C C B B B B
1．A
【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数；含未知数的项的次数都是1；是整式方程，根据条件逐一判断即可．
【详解】解：A、，满足二元一次方程的所有条件，符合题意；
B、，只含有1个未知数，且未知数最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意；
C、对于中是分式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、，只含有1个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意．
2．A
【分析】将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值，选出正确选项．
【详解】解：∵ 是关于，的二元一次方程的解
∴ 将，代入方程，
得，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为得 ．
3．D
【详解】解：∵同时满足两个方程，
∴二元一次方程组的解是．
4．A
【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，逐一分析选项即可
【详解】解：∵二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数，②每个方程都是整式方程，③所有未知数的最高次数为1；
∴对各选项逐一判断：
A 该方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组定义，此选项符合题意；
B 该方程组含有三个未知数，不符合定义，此选项不符合题意；
C 第一个方程中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合定义，此选项不符合题意；
D 两个方程中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义，此选项不符合题意
5．C
【分析】将各选项的，值代入原方程，验证等式是否成立即可得到结果．
【详解】解：A、将代入方程左边得，等式不成立，A不符合要求；
B、将代入方程左边得，等式不成立，B不符合要求；
C、将代入方程左边得方程右边，等式成立，C符合要求；
D、将代入方程左边得，等式不成立，D不符合要求．
6．C
【分析】根据“方程组的解满足方程组中的每一个方程”，将已知解代入各选项中的方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：将依次代入各选项的方程，
A．左边，右边，，故此选项不符合题意；
B．左边，右边，，故此选项不符合题意；
C．左边，右边，，故此选项符合题意；
D．左边，右边，，故此选项不符合题意．
7．B
【分析】根据题意，可得，根据、是正整数，则是的倍数，可得或，据此即可求解．
【详解】解：方程可化为，
∵、均为正整数，
当时，；当时，，
方程的正整数解为，，有2个．
8．B
【分析】根据总重量列出方程，再根据大小箱都要用、每箱装满的条件，求出方程的正整数解，解的个数即为装箱方案的数量.
【详解】解：设用个大箱，个小箱，根据题意得，其中，均为正整数，
整理得，
∵是正整数，
∴是能被整除的正整数，
∴满足条件的的值为，共个，对应组正整数解，即共有种装箱方案.
9．B
【分析】需要分类讨论：若购买A、B两种商品分别为x、y件；若购买A、C两种商品分别为a、b件；若购买B、C两种商品分别为m、n件；列出方程求其正整数解即可.
【详解】解：①若购买A、B两种商品分别为x、y件，
根据题意得：，
∵x、y都是正整数，
∴；
②若购买A、C两种商品分别为a、b件，
根据题意得：，
∵a、b都是正整数，
∴或；
③若购买B、C两种商品分别为m、n件，
根据题意得：，
∵m、n都是正整数，
∴或或或；
综上，小明的购买方案有7种；
故选：B.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的难点在于挖掘题目中的数量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其正整数解.
10．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组．
根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
将代入二元一次方程可得，
化简可得，
由题意可得，，解得，B选项符合题意．
11．2
【分析】设购买两种黑水笔的数量分别为，，根据总费用列出二元一次方程，结合，均为正整数的条件，求解方程正整数解的个数即可得到购买方案数．
【详解】解：设购买A种黑水笔支，B种黑水笔支，其中，均为正整数
根据题意列方程得
∴，
∵两种黑水笔必须都买，
∴x、y都为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴一共有2种购买方案．
12．
【分析】根据二元一次方程组的定义，含未知数的项的最高次数都为1，且方程组共含两个未知数，由此得到系数和次数的关系，求出，的值，再计算即可．
【详解】解：∵方程组是关于，的二元一次方程组，
∴二次项的系数必须为，且的次数为，
∴，
解得，
∴．
13．
【分析】根据二元一次方程的定义，该方程需要含有两个未知数，所含未知数的项的次数都为1，且x的系数不为0，据此列出关于m的条件求解即可．
【详解】∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解绝对值方程，得或，即或，
由不等式，得，
综上可得，．
14．
【分析】根据“瑞马数”的定义，按数的位数分类讨论，分别计算两位数中瑞马数的个数，以及所有不超过的瑞马数的个数，最后汇总得到结果．
【详解】解：根据题意，瑞马数是正偶数且各位数字之和为，
、计算两位数的瑞马数：
设两位数为，其中，，为偶数，且，
则，由得，即，
又为偶数，故，对应，共个，即两位数的瑞马数有个；
、计算所有不超过的瑞马数：
一位数：一位数最大为，故不存在瑞马数，共个，
三位数：设百、十、个位分别为，
根据题意得，，，为偶数，
∴，即，
∴当时，，可取，共个解；
当时，，可取，共个解；
当时，，可取，共个解；
当时，，可取，共个解；
当时，，可取，共个解；
∴三位数瑞马数共（个）；
设千位为的四位数的百、十、个位分别为，
∵，为偶数，，即，
∴当时，，共个解；
当时，，共个解；
当时，，共个解；
当时，，共个解；
当时，，共个解；
千位为的瑞马数共（个）；
千位为且不超过的四位数，其百位为，设其十、个位分别为，，
∵，为偶数，
∴，即，且，
解得：，
当时，，为偶数，得，符合；
当时，，为奇数，不符合；
当时，，为偶数，得，符合；共个，
所有瑞马数总数为：（个）．
15．
【分析】根据新定义可得；根据新定义可得“二倍数”M千位上数字与个位上数字之和为4，设“二倍数”M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，则可求出，则可得到，进而得到能被7整除，由，可得，再分和两种情况，分别求出对应情形下M的值，即可得到答案．
【详解】解：由题意得，；
∵“二倍数”M百位上数字与十位上数字之和为8，
∴“二倍数”M千位上数字与个位上数字之和为4，
设“二倍数”M的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，
∴
，
∴
，
∵能被7整除，
∴能被7整除，
∵，
∴，
当时，
当时，，此时M为3441，
当时，，不符合题意，
当时，，此时M为2712；
当时，
当时，，不符合题意
当时，，此时M为1353；
∵
∴M的最大值为3441.
16．(1)，，
(2)
【分析】（1）将已知解代入方程，并用 、 消元，解出 后，进而解得 、．
（2）将 代入得方程 ，可得 ，由非负整数解及 列举即可求出解．
【详解】（1）解： 是的解，
，
把代入得，
把，代入得，
，解得，
，．
（2）解：由（1）得，，，
方程，化为， 即 ，
，
x为非负整数，为非负整数，且，，
当，，不符合题意，
当，，不符合题意，
当，，符合题意，
当，，不符合题意，
当，，不符合题意，
原方程的整数解为：．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）先将方程组整理为的标准形式，再按题目定义写出对应矩阵；
（3）先根据矩阵写出对应方程组，再利用方程组解的定义代入已知解，计算得到的值．
【详解】（1）解：原方程组已经是标准形式，
按照定义可得矩阵形式为；
（2）整理原方程组：，
移项得，
，
移项得，
∴得到标准形式，
按照定义可得矩阵形式为；
（3）根据矩阵定义，对应方程组为，
将代入方程组得：，
解得．
18．
【详解】解：把代入，得，
解得，
∴.
19．(1)129元
(2)购买方案见解析；258个
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）设A包装盒，B包装盒，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设购买A包装盒元，B包装盒元，根据题意列出方程，求出，由于、为正整数，则的可能取值为5，10，15，据此求出三种方案即可．
【详解】（1）解：设A包装盒，B包装盒，根据题意得：
，
解得，
则盒，
因此，购买A包装6盒，B包装9盒的总花费为：元；
（2）解：设购买A包装盒，B包装盒，根据题意得：
，
解得，
由于、为正整数，
则的可能取值为5，10，15，
当时，，此时购买鸡蛋的数量为个；
当时，，此时购买鸡蛋的数量为个；
当时，，此时购买鸡蛋的数量为个；
因此，小王有3种购买方案：
方案一：购买A包装25盒，B包装5盒，可购买230个鸡蛋，
方案二：购买A包装14盒，B包装10盒，可购买244个鸡蛋，
方案三：购买A包装3盒，B包装15盒，可购买258个鸡蛋，
其中，方案三购买鸡蛋数量最多，最多可买258个．
20．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)存在，P坐标为：或
【分析】（1）根据二元一次方程的解的定义，取，求出的值即可；
（2）非负性求出点的坐标，作，则，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（3）过点M作轴于点N，设点，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：当时，，解得，
∴是二元一次方程的一组解；
（2）解：，
，，
，
点M在第三象限，
由题意得：点C在x轴负半轴上，，，
如图，作，则，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点M作轴于点N，
由（2）得，
，
点A是的“图象”与y轴的交点，
点A的横坐标为0，
当时，，
，
点B是的“图象”与x轴的交点，
点B的纵坐标为0，
当时，，
，
，
，
，
点P在y轴上，
设点，
，
，
，
∴，
∴，
①当时，，
，
②当时，，
，
综上所述，y轴上存在点P，使得，
此时点P坐标为：或.
答案第1页，共2页
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