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10.2 消元——解二元一次方程组暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册
一、单选题
1．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于，的方程组的解是，则关于的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程组，那么的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．5
5．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
6．在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程组 与同解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的方程组，则下列结论中正确的有（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；
③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（ ）
A．甲的判断正确，乙的判断不正确
B．甲、乙的判断都不正确
C．甲、乙的判断都正确
D．甲的判断不正确，乙的判断正确
10．对两个整式，进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，将所得的结果放在这两个整式之间，得到三个整式，，，称为第一次操作．将第一次操作后所得的三个整式中再进行这样的操作，得到五个整式，，，，，称为第二次操作．以此进行下去．下列说法：
①将第一次操作后的三个整式的和记为，若，则；
②若第三次操作后从左起第4个整式的值为6，第四次操作后从右起第2个整式的值为8，则；
③以此进行下去，第2026次操作后的所有整式的和为，则，，之间的关系为．
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．二元一次方程组的解是__________．
12．已知关于x，y的二元一次方程组，则的值是________．
13．对有理数，定义一种新运算“”：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________．
14．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________．
15．已知关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … …
y 6 4
关于x，y的二元一次方程的解如表：
x … 0 1 …
y 4 1
则关于x，y的二元一次方程组的解是________________．
三、解答题
16．阅读小明同学数学作业本上的截图内容并完成任务：
解方程组： 解：由①，得．③…………第一步 把③代入①，得．…………第二步 整理，得．…………第三步 因为可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．…………第四步
任务：
(1)这种解方程组的方法称为___________消元法；
(2)小明的解法正确吗？____________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，请指出错在第___________步；
(3)请选择恰当的方法解该方程组．
17．已知关于，的二元一次方程组．
(1)当时，求方程组的解；
(2)当这个方程组的解，的值互为相反数时，求的值．
18．我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组 叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x，y的方程组为共轭二元一次方程组，则____，____；
(2)若二元一次方程中的x，y值满足下列表格：
1 5
y 3 1
则这个方程的共轭二元一次方程是_______________；
(3)若共轭二元一次方程组的解是，猜想m，n之间的数量关系，并说明理由．
19．解下列二元一次方程组：
(1)；
(2)．
20．定义：我们把关于，的二元一次方程叫做有序数对的特征方程（其中，为常数，且）．如：叫做有序数对的特征方程．
(1)若的特征方程的一个解是，求的值．
(2)若无论取何值，有序数对的特征方程总有一个固定不变的解，求出这个解．
(3)已知是的特征方程的一个解，且是的特征方程的一个解（，），求的最小整数值，并写出此时和的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D B B C B D C
1．A
【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：将，与，代入方程得：
，
由方程②得，
将③代入方程①得，
解得；
将代入③得；
因此，，，
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可．
【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解，
∴，
解得：，
∴一元一次方程可化为，
解得：．
故选：A．
3．A
【分析】对比两个方程组的结构，将新方程组中和看作整体，对应原方程组的和，结合原方程组的已知解即可求出新方程组的解．
【详解】解：令，，则新方程组可转化为：，
∵原方程组的解是，
∴可得，即，
解得．
4．D
【分析】可将两个方程相加，整理后直接计算得到的值．
【详解】解：方程组，
则可得，即．
5．B
【分析】先将第一个方程变形，用含的代数式表示，再代入第二个方程即可得到结果.
【详解】解：
由①，得，
将代入方程②，得 .
6．B
【分析】将方程②中的表达式代入方程①，去括号即可得到结果．
【详解】解：将②代入①可得，
∴．
7．C
【分析】两个方程组同解，说明它们的解相同，因此先联立两个不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程所组成的方程组中解答即可求出的值．
【详解】解：∵两个方程组同解，
∴同时满足两个方程组中的所有方程，
由，解得，
把代入，得，
①②，得，
∴．
8．B
【分析】先解原方程组得到关于的表达式，再逐个验证四个结论，统计正确结论的个数，得到最终选项．
【详解】解：，
将两个方程相加，得，
即，
将两个方程相减，得，
即；
①当时，代入得，，则，因此①错误；
②当时，代入得，解得，因此②错误；
③若，代入得：，
化简得：，
解得：，符合结论，因此③正确；
④计算，代入得：，结果为定值，与无关，因此不论取何值，的值始终不变，④正确；
综上，正确的结论有2个．
9．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．将方程组的两个方程相加，得出，当的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断不正确；用表示出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
，
当的值互为相反数时，，
，故甲判断不正确；
解方程组得：，
，故乙判断正确．
故选：D．
10．C
【分析】根据操作规则，逐个验证三个说法，通过整式加减计算，推导总和规律，判断结论是否正确．
【详解】解：①第一次操作后三个整式为，，，
和为：
∵，
∴，
解得，故①正确；
②第三次操作得到：，，，，，，，，，
第四次操作后从右起第2个整式为：，
∵第三次操作后从左起第4个整式的值为6，第四次操作后从右起第2个整式的值为8，
∴，
解得，
∴，故②错误；
③∵原来两个整式的和：，
第一次操作后的和：，
第二次操作后的和：，
…，
∴第一次操作后和增加：，
第二次操作后和增加：，
…，
∴每次操作后和增加，
∴n次操作后的和为：，
∴，
∴，
∵对任意n都成立，
∴时，也成立，故③正确．
综上，正确的说法共2个．
11．
【详解】解：
①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
所以二元一次方程组的解为．
12．
【分析】观察方程组两个方程，的系数均为2，可先两式相减消去求出，再代入任意方程求出，最后计算．
【详解】解：，
②①得：
，
，
，
解得：，
把代入①：
，
，
，
解得：，
．
13．
【分析】理解新运算的规则，根据已知条件得到关于，的二元一次方程组，求解出，后计算的值即可．
【详解】解：根据新运算的定义，由，得：
，
解得：，
．
14．
【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可．
【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是．
若令，则方程组的解与方程组的解相同，
则，解得，
．
15．
【分析】利用换元思想，将所求方程组转化为已知形式的二元一次方程组，找出两个已知方程的公共解，再解关于x，y的方程组即可得到结果．
【详解】解：令，，
则原方程组可变形为，
由表格可知是该方程组的公共解，
因此可得，
整理得，
得，解得，
将代入得，
故方程组的解是：．
16．(1)代入
(2)不正确，二
(3)
【分析】（1）根据消元法的定义判断方法名称即可；
（2）根据代入消元法的操作要求，小明错将变形后的方程代回原变形方程，因此解法错误；（3）按照正确的代入消元法步骤求解即可得到方程组的解．
【详解】（1）解：这种解方程组的方法称为代入消元法．
（2）解：代入消元法需要将变形后的方程代入另一个未变形的原方程，小明将③代入变形所用的方程①，因此解法不正确，错在第二步．
（3）解：，
由①，得．③
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
即，
所以方程组的解为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）把代入原方程组，再进一步解方程组即可；
（2）两个方程相加，得到，求出，根据方程组的解x，y的值互为相反数可得a的值．
【详解】（1）解：当时，
，
得，，
两边同除以3得，③，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解是.
（2）解：，
得，，
两边同除以3得，，
∵方程组的解x，y的值互为相反数，
∴，
∴，
解得.
18．(1)2，1
(2)
(3)，理由如下：
将，代入方程组得：，
，
，
∴，
∵，
∴，
．
【分析】（1）根据新定义，得到，求解即可；
（2）将的值代入，求出的值，再根据新定义，即可得出结果；
（3）将，代入方程组，推出，即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意，，
∴；
（2）解：把和，代入，得
，解得，
∴这个方程为，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）略
19．(1)
(2)
【分析】（1）把方程①代入②消去y，解得，再代入求y，即可；
（2）整理方程②，得③，代入方程①得，把代入③，即可求解．
【详解】（1）解：，
把方程①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解是；
（2）解：，
由②得：③，
把③代入①，得：，
解得：，
把代入③，得：，
∴方程组的解是．
20．(1)
(2)
(3)的最小整数值为，，
【分析】（1）根据题意得，据此求解即可；
（2）根据题意得，根据方程总有一个固定不变的解得到，据此求解即可；
（3）根据题意得，得到，即可得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意：，
；
（2）解：由题意：，
，
，
∵无论取何值，方程总有一个固定不变的解，
，
；
（3）解：由题意：，
，
，
，
，
的最小整数值为，
即，
∴，此时，
∴，．
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