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10.4 三元一次方程组的解法 暑期专项练习2025-2026学年
人教版七年级数学下册
一、单选题
1．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）张
A．10 B．11 C．12 D．13
2．现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　）
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲
4．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．若方程组的解满足方程，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去，再解 B．先消去，再解
C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解
7．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（ ）
口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价
第一次 2杯 3杯 4杯 126元
第二次 4杯 3杯 2杯 120元
A．41元 B．31元 C．40元 D．30元
9．如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
10．有五张卡片，分别标记为A、B、C、D、E，每张卡片上各写有一个正整数．现将指定的五对卡片上的数字相加，所得两数之和记录如下表：
卡片组合 A、B B、C C、D D、E E、A
两数的和
以下说法错误的是（ ）．
A．A卡片上的数最小
B．C卡片上的数大于D卡片上的数
C．B卡片上的数最大
D．E卡片上的数仅比B卡片上的数小
二、填空题
11．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元．
12．小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______．
13．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________．
14．数学课上，老师在一副扑克牌中随机抽取了5张牌，分别记为A、B、C、D、E，牌面上的数字均为之间的正整数．已知相邻两张牌上的数字之和如下表所示，则数字第二大的牌是____________．（填字母）
牌
数字之和 13 8 15 10 12
15．甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有______名同学．
三、解答题
16．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？
17．解方程组：．
18．综合与探究
定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”．
【初步运用】
(1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）；
【深入理解】
(2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标；
【能力提升】
(3)若点与点都是“亲民点”，求k的值．
19．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得
(1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组
(2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组
(3)对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值．
20．已知点O在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，．
(1)如图1，若平分，平分，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点O分别作两条射线，且，求的度数；
(3)如图3，若，在的内部作一条射线，使得，试探究与的数量关系，并证明你的结论．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B C B A A A B
1．A
【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键．
设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可．
【详解】解：分别设三种票买了张．
则根据题意，得，
由②得③
将③代入①，得：．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案．
【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，
由图1得，
整理得：①，
图2得，
整理得：②，
①②得：，
将代入②得：，
则，
那么，
即，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式．
设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解．
【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为，
由图可得，
解得，
所以
故选：C．
4．B
【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，；
∴，
解得：．
5．C
【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可．
【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：
，
∴，
，
将代入得：
，
解得：．
6．B
【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法．
【详解】解：∵原方程组为
方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是，
∴将 ，即可直接消去y，得到 ，
再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便，
因此先消去y再求解是较简单的方法．
7．A
【详解】解：A．，得，，符合题意；
B．，得，，不符合题意；
C．，得，，不符合题意；
D．，得，，不符合题意．
8．A
【分析】设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，根据两次购买情况列方程组，把两式相加，整理可得答案．
【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，
由题意得：，
，得，
∴，
∴现各买一杯，需要花费41元．
9．A
【分析】根据Z字形，确定相对面，得到，进而求出的值，再进行计算即可.
【详解】解：由图和题意可得：，
解得，
∴.
10．B
【分析】设出五个卡片上的数，根据题目给出的两两和列等式，计算出每个数的具体值，再排序逐一判断选项．
【详解】设五张卡片上的数分别为，，，，，
根据题意得： ，
将所有等式左右相加，得 ，
，
，，
，
把代入和，得，，
把代入，得，
把代入，得，
得到五个数为 ，，，，，
排序得 ，
逐一判断：
A选项：最小，结论正确；
B选项：，结论错误；
C选项：是最大数，结论正确；
D选项：仅比小，是第二大数，结论正确．
11．
【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用．
【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元.
根据题意列方程组得：
将得：
，
将得：
，
得：
，
∴他共需元．
12．
【分析】设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出方程组，再利用消元法解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，
根据图中测量关系列方程组： ，
将两个等式相加，和抵消，得，
解得，
即桌子高度为．
13．22
【详解】解：由题意得，
解得，
∴，
当时，
．
14．D
【分析】根据题意列出所有相邻和的等式，先求出五个数的总和，再依次计算出每个字母对应的数字，将数字从大到小排序后即可得到第二大数字对应的字母.
【详解】解：根据题意得：，
将五个等式左右两边分别相加得：
，
化简得：，
依次计算每个字母对应的数字：
，
由得：，
由得：，
由得：，
由得：，
∵，
∴数字第二大的牌为．
15．9或7
【分析】本题主要考查了方程组的应用、不等式的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得，再根据极值可得或13，再分或13两种情况，分别确定b、c的关系，然后运用列举法确定c的值即可解答．
【详解】解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人．
则由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴或13，
当时，则，即；
∴，
当时，；当时，；当时，，此时，不符合题意（因题干提及甲、乙、丙三组，默认各组人数为正整数）；当时，，此时，不符合题意；
当时，则，即，此方程无符合题意的解．
综上，丙组的学生数为9或7名同学．
故答案为：9或7．
16．
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码.
【详解】解：由题意，得解得
所以发送方发出的密码是
故答案为：.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组.
17．
【分析】利用加减消元法解答即可．
本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键．
【详解】解：
得，，
得，，
得，
解得，
故，，
故方程组的解为．
18．(1)①②③
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入，进行判断即可；
（2）根据题意，易得，代入，进行求解即可；
（3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故①，②，③，三个点均是“亲民点”；
（2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴，
∵点是“亲民点”，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵点是“亲民点”，
∴，
整理，得，
∵是“亲民点”，
∴，
整理，得，
∵，
∴，
解得．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）模仿材料的换元法，设 ，解新方程组后回代得到原方程组的解；
（2）将待解方程组变形，对应已知方程组的解做整体换元求解；
（3）根据新定义列出等式，通过整体计算得到所求值．
【详解】（1）解：对于方程组
令
则原方程组可化为
整理得
解得
因此
解得
（2）解：已知方程组的解为
将两边同时除以，得
因此
解得
（3）解：由新运算定义和已知条件，得
要求
得
得
整理得即
20．(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的运算等知识点，弄清各角之间的关系成为解题关键．
（1）由角平分线的定义可得，即，进而求得，易得，最后根据平角的性质即可解答；
（2）由（1）可得：，即①；由，即②，③，然后三式联立求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设，则，设；由可得，进而得到，即，解得：；再根据平角的性质得到，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得： ，
∴①，
∵，
∴②，③，
联立①②③可得：．
（3）解：，证明如下：
∵，
∴设，则，
设，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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