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11.1 不等式 暑期专项练习2025-2026学年人教版
七年级数学下册
一、单选题
1．在以下各数中，是不等式的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（ ）
A． B． C． D．
5．周老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（ ）
A． B． C． D．
7．若为任意的数，下面五个命题中，正确的命题的个数（ ）
①如果，则； ②如果，则；
③如果，则； ④如果，则
⑤如果，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
9．十五个整数，，，…，依次排列在数轴上．这些整数呈等距排列，并且具有以下特性，，．
问的各位数字之和是多少？
A．8 B．9 C．10 D．11 E．12
10．已知多项式，满足，且为正整数，将其中的个“”改为“”后得到一个新多项式．下列说法中正确的个数是（ ）
①当（为偶数）时，新多项式的值可能为；
②当时，若，，均为正整数且，得到的新多项式的值恒为非负数，则；
③当，时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有种．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若，且，是正整数，则的值是______．
12．已知，，是三个非负数，且满足，，设，则的最大值为________．
13．比较大小：____________；___________ ，(填“”“”“”）
14．如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角．
如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）．
①；②；③；④
15．定义运算：（，为常数），已知，，若关于的不等式恰有2个负整数解，则的取值范围是________．
三、解答题
16．下列不等式的变形对不对？为什么？
(1)由，得；
(2)由，得；
(3)由，得；
(4)由，得．
17．用不等式表示：
(1)x的减去3的差大于2；
(2)与1的和小于零；
(3)a的2倍减去4的差是正数；
(4)b的与c的和是负数；
(5)a减去b的差是非负数；
(6)x的绝对值与1的和大于1．
18．如图，大长方形内两个正方形的面积分别为，．
(1)求大长方形的周长；
(2)小明猜测图中两块阴影部分的面积之和大于，判断小明的说法是否正确，并说明理由．
19．我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5和-6的大小：
，．
(1)请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果，那么．
(2)已知，请用求差法比较与的大小．
20．按要求完成作答
(1)已知，，求的取值范围．
小丽的做法如下：
由， 得， 从而________________， 由，得__________， 所以_______， 即________．
请补全小丽的解题过程．
(2)若（为常数），，，求的取值范围（用含的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A C C D B C A D
1．A
【分析】比较各选项的x值和的大小，判断是否满足即可得到结果．
【详解】解：A选项，∵，∴满足不等式，是该不等式的解，故A符合题意；
B选项，，不满足，故B不符合题意；
C选项，，不满足，故C不符合题意；
D选项，，不满足，故D不符合题意．
2．A
【分析】理解限速标志的含义即可得解．
【详解】解：限速标志“限速”表示车辆行驶的速度不能超过，
也就是行驶速度要小于或等于，用不等式表示为．
3．A
【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧；
，包含，点为实心，向右侧；
故选A．
4．C
【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果．
【详解】解：∵的可表示为，
的与的差可表示为．
又∵非负数是指大于或等于的数，
∴列出不等式为．
5．C
【分析】根据不等式的定义，用不等号（包括,,,,等）表示不等关系的式子叫做不等式，
逐一判断式子是否符合要求即可得到结果.
【详解】解：①含不等号，是不等式；
②含不等号，是不等式；
③是等式，不含不等号，不是不等式；
④是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤含不等号，是不等式；
⑥含不等号，是不等式；
∴不等式一共有4个.
6．D
【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果．
【详解】解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是，
∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得．
7．B
【分析】本题考查的是不等式的基本性质．根据不等式的基本性质对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①当x、y均为负数时不成立，故本小题错误；
②当x、y均为负数时不成立，故本小题错误；
③∵，∴，∴，故本小题正确；
④当时不一定成立，例如，取，此时满足，但，不满足，故本小题错误；
⑤若互为相反数时，，故本小题错误．
故选：B．
8．C
【分析】由得或进而即可求解；
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了数轴上点的规律问题，不等式的性质，找到规律并确定d的值是关键；设相邻两个整数的距离为，则可用d及表示出各数及d的范围，根据求得d及，从而求得，即可求解．
【详解】解：设相邻两个整数的距离为，则，…，，；
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
由于d取整数，则，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∴，
∴各位数字和为，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查绝对值的化简，不等式的性质，整式的规律探索，熟练根据题意正确列出多项式是解题的关键．
①中，正确举例即可得；
②中，根据，，均为正整数且，，得出，设，先判断，再得出当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”，设最小值为，得出，得出时，；时，；时，，；又由，得，则可得，即可判断；
③中，逐一枚举，并利用不等式的性质进行化简即可得．
【详解】解：①例如，多项式，，
则，
新多项式可以为，
举例：，
则①正确；
②若，，均为正整数且，，
∴，，，，，，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
其中，当时，，
∴，
当时，的新多项式的最小值为改变项前的“”，
设最小值为，
即，
∵时，，；
时，，；
时，，；
又∵，
∴，
∴，
∴只有当时，得到的新多项式的值恒为非负数，
故②正确；
③当，时，，
情况1：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况2：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况3：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况4：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况5：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况6：，
∵，
∴，，，
∴，
∴新多项式取绝对值化简结果为；
情况7：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况8：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
情况：，
由无法判断的正负，
∴新多项式取绝对值化简结果为或；
综上，新多项式取绝对值后化简的结果共有种，
故③正确．
故正确的是①②③，
故选：D．
11．1
【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值．
【详解】解： ，且，
，
解不等式得，
又是正整数，
．
12．
【分析】将和用表示，将用表示，求出的取值范围，然后根据不等式的性质求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∵，，是三个非负数，
∴
解得
∴
∴
∴的最大值为12．
13．
【分析】利用平方法比较①，两个正数比较大小，平方较大的数更大；利用作差法比较②．
【详解】解：①比较与的大小：
∵，，，且，，
∴；
②比较与的大小：
，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．①④
【分析】先计算出当P和H重合时，此时的，然后分当①当时，此时H在P的左侧，②当时，此时点H在点P的右侧，两种情况讨论；过点G作，，则，由平行线的性质和光的反射定律求得的的关系，结合的取值范围，从而求得的取值范围，据此可得答案．
【详解】解：如图，当P和H重合时，由题意可知此时，过点G作，
则，
∵，
∴，
∴，，
∴此时，
∴此时；
∵，
∴①当时，此时H在P的左侧，如图所示，过点G作，垂足为G，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由光的反射定律可知，
∴，
∴，
∵，
∴此时；
②当时，此时点H在点P的右侧，如图所示，
同理可得此时，
∴此时；
综上，反射光束与天花板所形成的角的取值范围是或；
∴可能取到的度数为①和④．
15．
【分析】先根据新定义和已知条件列二元一次方程组求出常数，再代入不等式化简得到关于的范围，最后根据不等式恰有2个负整数解列出关于的不等式组，求解得到的取值范围．
【详解】解：∵，由，，
∴，
解得．
∵，
∴，
解得．
∵不等式恰有2个负整数解，
∴负整数解为，
∴，
解得．
16．(1)
不对：
已知，不等式两边同时乘以，不等号方向需要改变，得，与题目给出的不符，因此变形不对；
(2)
不对：
已知，不等式两边同时加，得，不等式两边同时除以，得，与题目给出的不符，因此变形不对；
(3)
不对：
已知，不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变，得，与题目给出的不符， 因此变形不对；
(4)
对：已知，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，得，与题目给出的结果一致，因此变形对．
【分析】根据不等式的性质依次分析即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
17．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
（5）略
（6）略
18．(1)
(2)正确，理由如下：
由题意得，两块阴影部分的面积之和
∵，
∴
∴
∴小明的说法正确．
【分析】（1）根据正方形的面积公式和长方形的周长公式求解即可；
（2）先进行无理数的估算，再利用不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为，，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
长方形的周长为；
（2）略
19．(1)解：∵，
∴，
∴．
(2)
【分析】（1）根据不等式的性质说明即可；
（2）根据题意用求差法比较即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∵，
∴，
∴．
20．(1)解：由，
得，
从而，
由，
得，
所以，
即．
(2)
【分析】（1）根据解题思路解答即可；
（2）由得到，结合得到，根据得到，从而，因此．另外根据，得到，再由不等式的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
．
，
，
，
，
∴，
，
．
，
．
，
，
．
∵，
又，
∴．
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