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11.2 一元一次不等式暑期专项练习2025-2026学年
人教版七年级数学下册
一、单选题
1．某商品进价为元，标价为元，打折后利润率不低于，设打折，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　）
A． B． C． D．
3．将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的最大整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．新定义一种运算：，例如：．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是年月日河南南阳的天气预报，图中展示了当日室外气温．已知室内气温比室外气温高，下列说法错误的是（ ）
A．可能是 B．
C．这一天的温差是 D．
8．受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．某房屋的平面结构如图所示，现准备用A、B两种长方形地砖铺设房屋地面（包括阳台）．已知一块A型地砖的面积为，单价是40元/块；一块B型地砖的面积为，单价是60元/块．现用不超过8000元购买两种地砖，要求两种地砖的购买数量均为整数，且地砖总面积等于房屋总面积，则购买A型地砖的数量至少为（）
A．100块 B．101块 C．102块 D．103块
10．对于不相等的两个实数、，定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
二、填空题
11．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将的水倒进一个容量为的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______．
12．A，B两种食品的营养成分如图所示，选取A，B食品共4份，要使蛋白质总含量不低于，且总能量最低，则应选A食品______份．
13．某手工社团准备将一根长的彩带，全部剪成和两种规格的装饰条（每种规格至少一条），用于布置活动现场，那么不同的裁剪方案共有________种．
14．为了增强学生的消防安全意识，学校举办了消防安全知识竞赛，共35道题．已知答对一题得4分，答错或不答扣2分．竞赛规定总分不低于80分才能获得“消防安全小卫士”称号，小华想要获得此称号，则他至少要答对______道题．
15．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个．
三、解答题
16．解不等式，并把解集表示在数轴上．
17．为深入传承和弘扬和田悠久的历史文化，切实做好青少年传统文化研学实践教育工作，和田某中学组织本校学生前往和田约特干古城开展研学参观活动．为保障出行安全有序，学校计划统一租用甲、乙两种型号的客车负责接送学生．经调研测算，3辆甲型客车与2辆乙型客车一次性可运送195名学生；1辆甲型客车与1辆乙型客车一次性可运送75名学生．
(1)求甲、乙两种型号客车每辆载客人数分别是多少？
(2)本次研学出行，学校计划总共租用甲、乙两种客车合计12辆，为保证所有参与研学的学生顺利出行，要求租用车辆一次性可承载的总人数不少于435人．则该学校至少需要租用甲型客车多少辆？
18．2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号人形机器人进行快递分拣，若购买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若购买3台A型机器人、4台B型机器人，共需480万元．
(1)求A、B两种型号人形机器人的单价；
(2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元，最多能购买A型机器人多少台？
19．解下列不等式：
(1)；
(2)．
20．“端午佳节，粽叶飘香”，某超市推出甲、乙两款礼盒装的粽子．若购买1盒甲款粽子和1盒乙款粽子需要160元；若购买2盒甲款粽子和3盒乙款粽子需要380元．
(1)求甲、乙两款礼盒装的粽子的单价各是多少；
(2)超市现对甲款礼盒装的粽子推出两种优惠方案，
方案一：六盒以内不打折，超过六盒的部分打六折．
方案二：第二盒半价；（即第一盒原价，第二盒半价；第三盒原价，第四盒半价；以此类推）
小厦需要一次性购买（）盒甲款粽子，如何购买更划算？（注：一次性购买，两种优惠方案不同享）
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B B B C B C B
1．A
【分析】根据商品打折出售，可得售价为标价的，则利润为，根据“打折后利润率不低于（即利润不低于进价的，）”即可解答．
【详解】解：商品打折出售，售价为标价的，
打折后售价为，
利润售价进价，
利润为，
利润率不低于，即利润不低于进价的，
可得不等式．
2．D
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可．
【详解】解：A．，
，
，
，
，
（不等号的方向改变），
所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意；
B．，
，
，
，
（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
C．，
，
，
，
（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
D．，
，
，
，
（不等号的方向改变），
所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．A
【详解】解：不等式的解集为，在数轴上表示：
4．B
【分析】本题考查一元一次不等式的解法，解题思路为先求出不等式的解集，再在解集中找出最大的整数即可得到答案；
【详解】解：解不等式，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为得 ；
∵小于的最大整数为，
∴不等式的最大整数解是；
5．B
【分析】先按照新定义规则，从内到外计算化简不等式，再解一元一次不等式得到的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
6．B
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可．
【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式；
②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式；
③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式；
④，是等式，不是不等式，
综上，一元一次不等式有②③，共2个．
7．C
【详解】解：A、根据图象可知，这一天的最低气温为，最高气温为，即，因此k可能是，故该选项正确；
B、由题意可得，，故该选项正确；
C、这一天的温差为，故该选项错误；
D、由，得，即，故该选项正确．
8．B
【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到，
故每个小球使水面上升，
设放入个小球时量筒内有水溢出，
∵量筒总高度为，初始水位为，
∴，
解得，
∵为整数，
∴的最小值为，
故量筒内相同体积的小球个数至少是个．
9．C
【分析】首先根据图形计算房屋的总面积，然后设购买型地砖块，型地砖块，根据“地砖总面积等于房屋总面积”列出二元一次方程，根据“总费用不超过8000元”列出一元一次不等式，结合、均为整数求解即可．
【详解】解；由图可知，房屋总面积由三部分组成：左侧主体、右侧主体和阳台．右侧主体面积为，阳台面积为，
由图示结构可知左侧主体宽度与阳台宽度相同，均为，高度与右侧主体相同，为，
左侧主体面积为．
房屋总面积．
设购买型地砖块，型地砖块．
地砖总面积等于房屋总面积，
．
整理得：，即①．
．
为整数，
必须是6的倍数．
总费用不超过8000元，
，即②．
将①变形为
代入②得：．
．．
为6的倍数，且，
的最小值为102．
故选C．
10．B
【分析】根据新运算的规则，分两种情况对和的大小关系分类讨论，解一元一次不等式后取并集即可得到的取值范围．
【详解】解：当，即时，根据新运算定义得，
，
，
解得，
结合前提，得此种情况下；
当，即时，根据新运算定义得，
，
，
解得，
结合前提，得此种情况下；
综上所述，的取值范围为或．
11．
【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可．
【详解】解：一颗玻璃球的体积为，
∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满，
∴，
解得：；
∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出，
∴，
解得：；
∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：，
故答案为：．
12．2
【分析】设选A种食品x份，依题意列出一元一次不等式，求出，得到或3或4，再分类计算总能量，并比较大小即可．
【详解】解：设选A种食品x份，依题意，得
，
解得，
∵，
∴，且x为整数，
∴或3或4，
当时，总能量为（千焦），
当时，总能量为（千焦），
当时，总能量为（千焦），
由，得
总能量最低，则应选A食品2份．
13．/三
【分析】设出两种规格装饰条的数量，根据总长度列出二元一次方程，结合x，y均为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到不同裁剪方案的种数．
【详解】解：设的装饰条有根，的装饰条有根，其中为正整数，
根据题意得：，
整理得：，
变形得：，
因为是正整数，
所以为正偶数，
因此为偶数，且，
可得为偶数，且．
满足条件的的取值为，，，
对应得到的正整数分别为，，，共有组不同的正整数解．
14．25
【分析】根据得分规则和获奖的分数要求列出一元一次不等式即可求解．
【详解】设小华答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意列不等式，得
解得
故小华至少要答对道题．
15．6
【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可．
【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个，
由题意，实际购买接力棒数量为 （根），
实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ，
整理得： ，
设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根，
原计划总费用减去实际总费用等于，
列方程得：，
整理得： ，
将 代入上式，
得：，
化简得，
变形得：，
∵是正整数，
∴为整数，
又∵和互质，
∴是的倍数，
∵，解得，
∴，
则，即实际购进标志桶的数量为个．
16．，画图如下：
【分析】根据题意先移项，再合并同类项，未知数系数化为1，即可得到解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
画图略．
17．(1)甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名
(2)5辆
【分析】（1）设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，根据题意列方程组解决即可；
（2）设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆，列不等式解决即可；
【详解】（1）解：设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，由题意得：
，
解得，
答：甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名；
（2）解：设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆．
，
解得，
答：该学校至少需要租用甲型客车5辆．
18．(1)
型人形机器人的单价为80万元，型人形机器人的单价为60万元
(2)
最多能购买型机器人10台
【分析】（1）设、两种型号人形机器人的单价分别为万元和万元，根据题干给出的两种购买方案的总费用，列出二元一次方程组求解即可得到单价；
（2）设购买型机器人台，则型机器人为台，根据总费用不超过1100万元列出一元一次不等式，解不等式取最大正整数即可得到结果；
【详解】（1）解：设、两种型号人形机器人的单价分别为万元，万元，
根据题意得，
解得，
答：型人形机器人的单价为80万元，型人形机器人的单价为60万元；
（2）解：设能购买型机器人台，则购买型机器人台，
根据题意得，
解得，
答：最多能购买型机器人10台．
19．(1)，
(2)
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
20．(1)甲款礼盒粽子单价为100元，乙款礼盒粽子单价为60元；
(2)当时，选择方案二更划算；当时，两种方案费用相同；当或时，选择方案一更划算．
【分析】（1）甲款礼盒粽子单价为元，乙款礼盒粽子单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可；
（2）求得方案一；分类求得方案二、为偶数，；为奇数，，比较和，即可求解．
【详解】（1）解：甲款礼盒粽子单价为元，乙款礼盒粽子单价为元，
根据题意得，
解得，
答：甲款礼盒粽子单价为100元，乙款礼盒粽子单价为60元；
（2）解：方案一、
；
方案二、由题意得：奇偶交替，第1，3，5，盒原价100，第2，4，6，盒半价50，
若为偶数：共盒原价，盒半价，
，
若为奇数：共盒原价，盒半价，
；
情况1：为偶数，，
令，则，解得；
当偶数：，更小，方案二划算；
当偶数：，两种方案费用相同；
当偶数：，更小，方案一划算；
情况2：为奇数，，
令，则，解得；
当（奇数）：，方案二划算；
当（奇数）：，方案一划算；
综上，当时，选择方案二更划算；当时，两种方案费用相同；当或时，选择方案一更划算．
答案第1页，共2页
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