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11.3 一元一次不等式组 暑期专项练习2025-2026学年人教版
七年级数学下册
一、单选题
1．若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
2．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的正整数解是（ ）
A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0，
5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于，的方程组的解都是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
9．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于的一元一次不等式组恰有两个偶数解，且关于、的方程组有正整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．7 B．17 C．16 D．6
二、填空题
11．某医院尿常规检测的正常值的参考范围是．这家医院测出三位患者尿液中的值为x，分别满足甲：；乙：；丙：．则尿液的值正常的患者是________．
12．若点在第四象限，且为整数，则的取值可以是________．（写出一个即可）
13．某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音．已知小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x的取值范围是_________．
14．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．
（1）若时，程序进行了_________次操作就停止了；
（2）若时，则输出的数为_________；
（3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是_________．
15．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①当时，该不等式组无解；
②若该不等式组的解集是，则；
③若该不等式组有解，则；
④若该不等式组有且只有2个整数解，则；
其中正确的结论是________．（填写序号）
三、解答题
16．解不等式组：，求不等式组的整数解．
17．为响应“东数西算”国家算力枢纽建设号召，某科技公司计划采购A、B两种型号的AI服务器共20台．已知采购1台A型服务器与2台B型服务器共需14万元；采购2台A型服务器与1台B型服务器共需16万元．
(1)采购一台A型服务器和一台B型服务器各需要多少万元？
(2)若采购A、B型服务器的总费用不超过106万元，则最多采购A型服务器多少台？
(3)在第（2）问的基础上，A型服务器数量大于B型服务器数量，请设计费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
18．解答下列各题．
(1)三位同学接力解不等式组的过程如下：
嘉嘉： 解不等式①： ， ． 淇淇： 解不等式②： ， ． 嘉琪：原不等式组无解．
开始出现错误的同学为________，不等式组的正确结果为________．
(2)若为（1）中不等式组的最小的整数解，为（1）中不等式组的最大的整数解，解二元一次方程组．
19．某工厂要制作一款长方体木箱，木箱的长，宽，高分别为厘米，厘米和厘米．制作时，需要用三种规格的长方形木板裁剪出箱底，箱盖和四个侧面，裁剪方式如下：甲型木板可裁出个箱底和个长侧面，乙型木板可裁出个长侧面和个短侧面，丙型木板可裁出个箱盖和个短侧面．
已知制作一个木箱需要个箱底，个箱盖，个长侧面和个短侧面．
(1)若时，求：
①乙和丙这两块木板的面积分别是多少？
②仅用甲和乙木板恰好能生产个上述木箱，需要甲和乙两型木板各多少块？
(2)若a≠10时，现有甲，乙，丙三种木板共块，恰好用这块木板制作了个完整的有盖木箱（允许有剩余的箱盖和箱底，但长侧面和短侧面刚好用完），则甲，乙，丙三型木板各用了多少块？及求的值．
20．为筹备校园社团文化展，学校社团需要采购A款文具套装20套，B款定制水杯30个，共花费2100元．已知B款水杯的单价比A款文具套装的单价高20元．
(1)求A、B两款产品的单价各是多少元？
(2)根据需求，社团决定再次购进A、B两款产品共50个．恰逢商家促销活动：A款文具套装单价优惠5元，B款水杯单价打8折．如果此次采购总费用不超过1550元，且购买B款水杯不少于18个，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，为了节约资金，社团应选择哪种方案？请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B B B B A C A
1．C
【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可．
【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个，
∴苹果的总数为个．
∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个，
∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为．
∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个，
∴．
2．A
【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案．
【详解】解：由得，
则可变形为，
解得，
可变形为，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．A
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据“同大取大”的不等式组解集法则，结合已知解集求的取值范围．
【详解】解：∵，
∴解不等式，得；
∴解不等式，得；
∵不等式组的解集是，
∴，
解得．
4．B
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：．
∴正整数解是1．
5．B
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，即可选出正确选项．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为．
6．B
【分析】先解二元一次方程组，得到用表示的和，再根据方程组的解都是正数，列出不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】解∶
由得：，
∴
得：
，
∵关于，的方程组的解都是正数，
∴，即，
解得：．
7．B
【分析】根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
8．A
【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可.
【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支，
钢笔总数为支，
若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支，
最后一名同学分得的钢笔数量为支，
最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支，
．
9．C
【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求，
∴可得不等式组
，
解得，
∴的取值范围是．
10．A
【分析】先解一元一次不等式组，根据恰有两个偶数解确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有正整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
不等式组恰有两个偶数解，符合条件的偶数解为，0，
∴，解得．
解方程组，得，
方程组有正整数解，
是的正约数，且，．
∵，
∴，
在该范围内的正约数为3，4，6，12，
①当时，
，，符合正整数要求；
②当时，
，，符合正整数要求；
③当时，
，，符合正整数要求；
④当时，
，，不符合，舍去．
综上所述，符合条件的整数为1，2，4，和为．
11．乙、丙
【分析】先确定值正常范围为，分别求解三位患者对应的的取值或范围，再判断是否落在正常范围内即可．
【详解】由题意得，值正常的范围为，
对甲患者：解不等式，解得，不满足，故甲不正常；
对乙患者：解方程，得，满足，故乙正常；
对丙患者：解不等式，解得，满足，故丙正常．
综上所述，尿液的值正常的患者是乙、丙．
12．1（写出中任意一个即可）
【分析】根据第四象限内点的横、纵坐标的符号特征，列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，在范围内取一个整数即可．
【详解】点在第四象限
根据第四象限点的坐标特征，可得，
可得不等式组的解集为，
为整数
可以取．
13．
【分析】根据题意找出不等关系，列出不等式组即可求解．
【详解】解：两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，
由题意可得，
解得．
14． 2
【分析】（1）根据流程图计算即可得解；
（2）根据流程图计算即可得解；
（3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解．
【详解】解：（1）第一次操作：，
∵，
∴需要进行下一次操作，
第二次操作：，
∵，
∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了；
（2）∵，
∴第一次操作：，
∵，
∴输出的数为；
（3）由题意可得：，
解得：，
故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是．
15．①②④
【分析】先分别求解两个不等式得到不等式组的解集形式，再逐一验证每个结论即可．
【详解】解：，
解不等式得，
解不等式得，
因此不等式组的解集为，
①当时，，不等式组解集为，不存在满足条件的，不等式组无解，故①正确；
②若不等式组解集是，则，解得，故②正确；
③若不等式组有解，则，解得，当时，不等式组无解，因此结论错误，故③错误；
④若不等式组有且只有个整数解，
由得最大整数解为，两个整数解为和，
因此满足，
不等式同乘得，
移项得，故④正确；
综上，正确的为①②④．
16．不等式组的解集为，整数解为．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
因此不等式组的公共解集为，
∴不等式组的整数解为．
17．(1)采购一台A型服务器需要6万元，采购一台B型服务器需要4万元；
(2)最多采购A型服务器13台；
(3)购11台A型服务器，9台B型服务器，采购费用102万元．
【分析】（1）设采购一台A型服务器需要万元，一台B型服务器需要万元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设采购A型服务器型车台，则B型服务器台，根据题意，列出不等式，即可求解；
（3）根据A型服务器数量大于型服务器数量以及（2）中结论，可得，从而得到可取11，12，13，即可求解．
【详解】（1）解：设采购一台A型服务器需要万元，一台B型服务器需要万元，
可列方程组
解得
答：采购一台A型服务器需要6万元，采购一台B型服务器需要4万元；
（2）解：设采购A型服务器台，则B型服务器台，
由题意得：
解得
答：最多采购A型服务器13台；
（3）解：∵A型服务器数量大于B型服务器数量，
，
解得．
由（2）可知，
为正整数，
可取11，12，13，
∴共有3种采购方案，采购方案及费用如下：
方案一：采购11台A型服务器，9台B型服务器共花费（万元）；
方案二：采购12台A型服务器，8台B型服务器共花费（万元）；
方案三：采购13台A型服务器，7台B型服务器共花费（万元）；
，
∴采购11台A型服务器，9台B型服务器时费用最省，采购费用102万元．
18．(1)淇淇；
(2)
【详解】（1）淇淇；
解不等式②：
，
不等式组的解集为；
（2）由题意可知：，，
原方程组为
②①，得．
将代入①，得，
解得，
∴原方程组的解为 ．
19．(1)①乙木板的面积为，丙木板的面积为；②需要甲型木板块，乙型木板块
(2)共有两组符合条件的结果：甲块、乙块、丙块，的值为；甲块、乙块、丙块，的值为
【分析】（1）当时，长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为，此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形，
①根据长方形的面积公式计算即可；
②设需要甲型木板块，乙型木板块，根据“此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形”列出关于、的二元一次方程组求解即可；
（2）设甲型木板用了块，乙型木板用了块，丙型木板用了块，且，，，为正整数，得：，推出，，，进一步推出为正偶数，根据允许有剩余的箱盖和箱底，可得，确定（为正偶数），即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知：长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为，
当时，长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为，
此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形，
①∵乙型木板由个长侧面和个短侧面拼接而成，总长为：，宽为：，
∴乙型木板面积为：；
∵丙型木板由个箱盖和个短侧面拼接而成，总长为：，宽为：，
∴丙型木板面积为：；
②设需要甲型木板块，乙型木板块，
依题意，得：，
解得，
答：需要甲型木板块，乙型木板块；
（2）解：设甲型木板用了块，乙型木板用了块，丙型木板用了块，且，，，为正整数，
依题意，得：，
②－③，得：，
把代入①，得：，
把代入②，得：，
∴，
∵为正整数，
∴为正偶数，
∴为正偶数，
∵允许有剩余的箱盖和箱底，但制作个木箱至少需要个箱底和个箱盖，
∴，
∴，
解得：（为正偶数），
∴或，
当时，，，，
当时，，，，
综上所述，共有两组符合条件的结果：甲块、乙块、丙块，的值为；甲块、乙块、丙块，的值为．
20．(1)A款文具套装的单价是30元，B款定制水杯的单价是50元
(2)3种
(3)解：为了节约资金，社团应该选择购买A款文具套装32套，购买B款定制水杯18个．理由如下：
由（2）知3种购买方案及总购买资金分别为
方案一：购买A款文具套装30套，则购买B款定制水杯20个，购买资金为（元）；
方案二：购买A款文具套装31套，则购买B款定制水杯19个，购买资金为（元）；
方案三：购买A款文具套装32套，则购买B款定制水杯18个，购买资金为（元）；
∵，
∴为了节约资金，社团应该选择方案三：购买A款文具套装32套，购买B款定制水杯18个．
【分析】（1）设A款文具套装的单价是x元，B款定制水杯的单价是y元，根据题意列二元一次方程组即可解答；
（2）设购买A款文具套装m套，则购买B款定制水杯个，根据题意列一元一次不等式组即可解答；
（3）根据题意计算购买资金，比较大小即可解答．
【详解】（1）解：设A款文具套装的单价是x元，B款定制水杯的单价是y元，
根据题意得，
解得，
答：A款文具套装的单价是30元，B款定制水杯的单价是50元；
（2）解：设购买A款文具套装m套，则购买B款定制水杯个，
根据题意，得，
解得，即，
又∵m为整数，
∴m的值为30，31，32，
∴共有3种购买方案；
（3）略
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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