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19.1 二次根式及其性质暑期专项练习2025-2026学年人教版
八年级数学下册
一、单选题
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．18
5．当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
7．在下列代数式有意义的情况下，代数式的值随着a的值增大而一定减小的是（ ）
A． B． C． D．
8．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10
10．已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则满足条件的整式M之和为；
③若，则满足条件的整式M有10个；
④所有满足条件的整式M共有17个；
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个．
12．如图，团扇是中国传统工艺品，扇面形状有圆形和长方形两种．若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为______（结果保留）
13．已知的结果为3，那么的取值范围为______________．
14．若等腰三角形的两边长分别为和则该等腰三角形的周长为______（结果要求化简）．
15．两个正方形如图摆放，图1，2中阴影三角形的面积分别为，，则图3中阴影三角形的面积为_______（用含，的式子表示）．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当，时，；
，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_____；
(2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？
(3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值．
18．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．
19．【观察·发现】观察下表中的式子，并发现其中的规律：
第个 第个 第个 第个 第个 第个 …
…
【归纳·说理】根据上表式子所包含的规律，解决问题：
(1)估计第个式子的值在哪两个连续整数之间，试说明理由；
(2)写出第个式子，并化简．
20．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___；
(3)先化简，再求值：，其中．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A D B B B
1．B
【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数是非负数，本题中的被开方数为
∴，
解不等式得．
2．C
【分析】根据二次根式的定义“形如的式子叫做二次根式”逐一判断选项即可．
【详解】解：A、当时，，无意义，不是二次根式，因此A不符合要求；
B、是分数，不含二次根号，不是二次根式，因此B不符合要求；
C、的根指数是2，被开方数，满足二次根式的定义，因此C符合要求；
D、的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，因此D不符合要求．
3．D
【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的结果一定是非负的，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A选项，，
A错误；
B选项，算术平方根的结果为非负数，，
B错误；
C选项，，当时，，
C错误；
D选项，，
D正确．
4．B
【分析】根据二次根式为整数的条件，即被开方数为完全平方数，即可求出最小正整数．
【详解】解：，且是整数，n是正整数．
是整数，即为完全平方数．
当取最小正整数时，，此时．
因此的最小值为．
5．C
【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴．
6．A
【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可
【详解】解：∵ ，，
代入公式 得：
，
又∵ ，，且 ，
∴ ，即 ，
∴ 介于和之间
7．D
【分析】根据各代数式的有意义条件确定定义域，再结合代数式的性质，判断代数式值随增大的变化趋势，即可得到答案．
【详解】解：A、有意义时，当时，取，，得，此时，，，代数式值随增大而增大，故A错误；
B、有意义时，取，，得，此时，，，代数式值随增大而增大，故B错误；
C、有意义时，∵增大时增大，算术平方根随被开方数增大而增大，∴代数式值随增大而增大，故C错误；
D、有意义时，由分式和二次根式有意义条件得，即，∵增大时减小，算术平方根随被开方数减小而减小，∴随增大一定减小，故D正确．
8．B
【详解】解：由数轴可知：，则有，
∴．
9．B
【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为．
【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为，
，
正方形的面积为，
故选：．
10．B
【分析】利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可．
【详解】解：由题意得，，则化为
① 当时：
又，
∴，
若，不满足，故，即，①正确；
② 当时：
∴
∴
∵，
∴所有符合条件的整式为：，，，
求和得，故②错误；
③ 当时：
，
，
∵， 分类列举得：
当，符合条件的有共3个；
当，符合条件的有共4个；
当，符合条件的有共2个；
当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误；
④ 计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时， ，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误，
综上，只有1个结论正确．
11．
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断．
【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式；
，被开方数，不满足定义，不是二次根式；
，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式；
，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式；
综上所述，二次根式的个数是3个．
12．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可．
【详解】由题可得，
长方形扇面的面积，
设圆形扇面半径为，
因为两种扇面的面积相等，
根据圆的面积公式，
解得（负值舍去），
因此圆形扇面的周长，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
将原式化为绝对值方程 ，分段讨论求解．
【详解】解：原式可化为
当时，，
解得 ，
但 不在的范围，无解；
当时，，恒成立；
当时，，
解得 ，符合条件；
综上所述，．
故答案为：．
14．/
【分析】先将已知二次根式化简，分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，计算可得符合条件的周长．
【详解】解： ，．
分两种情况讨论：
当腰长为，底边长为时
两腰长之和为．
，，
，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去．
当腰长为，底边长为时满足三角形三边关系，
此时周长为：．
故答案为：．
15．/
【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，先结合图形求出与之间的等式关系，再计算图3中阴影三角形的面积即可．
【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
由题意得：
，
，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴图3中阴影三角形的面积为
．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，二次根式的化简；先将二次根式化简，然后根据实数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
17．(1)
(2)当时，有最小值，为
(3)四边形面积的最小值为25
【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可；
（2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可；
（3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴的最小值为2；
（2）解：∵，
当，即时等号成立，
∴当时，有最小值，为．
（3）解：设，
∵与等高，与等高，
∴，
由题知，，
∴，
∴，
∵
，
∵，当且仅当即时取等号，
∴，
∴四边形面积的最小值为25．
18．
【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．
【详解】解：由三边关系定理，得，即，
∴，
∴原式
．
19．(1)解：估计第个式子的值在连续整数与之间．理由如下：
由表格可知第个式子是，
∴第个式子是，其值为，且，
∴，
∴第个式子的值在连续整数与之间；
(2)第个式子为；化简得．
【分析】（1）先求出第个式子的值，进而进行估算即可；
（2）求出第个式子并化简即可．
【详解】（1）略；
（2）解：第个式子为，
．
20．(1)小亮
(2)
(3)；
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解；
（2）根据二次根式的性质即可求解；
（3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∴小亮的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质
（3）解：∵
∴
当时
原式
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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