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19.2 二次根式的乘法与除法 暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将化简，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，若的面积为，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．有下列各式：①；②；③；④．如果，，那么等式成立的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，在四边形中，，，，垂足为P．若四边形的面积是20，则的长是________．
12．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．
13．已知n为整数，且，则______．
14．若与互为相反数，则的值为__________．
15．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
若，则当______时，有最小值，最小值为______．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
17．日光岩是厦门鼓浪屿的标志性景点．小海制作了一张印有“日光岩”的卡片，如图1，该卡片是边长为的正方形．现有一个长、宽之比为的长方形信封，如图2，其面积为．
(1)求长方形信封的长和宽；
(2)若不折叠卡片，小海能否将卡片完全放入信封中？请通过计算说明理由．
18．定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．
(1)若与是关于的和谐二次根式，求；
(2)若与是关于的和谐二次根式，求．
19．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积．
20．对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题：
（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
．．．依此类推，是的面积．
(1)___________； ___________．
(2)若 ，则的最大值为___________．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B C B C B D
1．A
【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算，
∵，
∴ 原式．
2．D
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是．
3．C
【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质化简，即可得到结果．
【详解】．
4．C
【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母．
【详解】解：∵选项A中，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
∵选项B中，，被开方数含能开得尽方的因式，∴不是最简二次根式；
∵选项C中，的被开方数不含能开得尽方的因式，也不含分母，满足最简二次根式的定义，∴是最简二次根式；
∵选项D中，，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
5．B
【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高．
【详解】解：设边上的高为h，
∵，，
∴，
解得．
6．C
【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果．
【详解】解：．
7．B
【详解】．
8．C
【详解】解：．
9．B
【分析】本题考查二次根式的乘除运算与性质，先根据已知条件判断的符号，再利用二次根式的运算法则逐一化简判断即可；
【详解】解：
∵ ，，∴ ，.
，①成立；
，与在实数范围内无意义，②不成立；
，
∵，
∴ ，③不成立；
由③的推导可得，④成立；
10．D
【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和
它们的边长分别为
，
空白部分的面积
．
故选：D．
11．
【分析】本题考查的矩形的判定与性质和三角形全等的判定与性质，过点C，作，证明四边形是矩形，然后证，然后利用等量代换即可得到答案．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点C作，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．
根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可．
【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，
则的最简形式为，其中为正整数，
即，
解得
由为正整数，得，
解得，
则可取1，2，3，
当时，；当时，；当时，
因此的最小值为5，
故答案为：5．
13．
【分析】先计算出的结果，再估算所得无理数的大小，即可得到整数的值.
【详解】解：，
，即，
n为整数，且，
．
14．
【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键．
先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴
∵二次根式具有非负性，
∴只有当且时，和为，
解得：
将代入：
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
当且仅当，即时最小值，最小值为，
则，
那么，，
故当时，原式取得最小值．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答．
（2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答．
（3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答．
（4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
17．(1)长方形信封的长和宽分别为和
(2)解：不能，理由如下：
∵正方形卡片的边长为，由（1）可知，长方形信封的宽为，
又∵，，
∴，
故不折叠卡片，小海不能将卡片完全放入信封中.
【分析】（1）设宽为，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（2）比较正方形的边长与长方形的宽的大小关系，即可得出结果.
【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长方形的长为，
由题意，，
∵，
∴，
∴；
答：长方形信封的长和宽分别为和.
（2）略
18．(1)
(2)
【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值；
根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得，
，
，
，
∴．
19．通道的总面积为
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键．
分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可．
【详解】解：．
答：通道的总面积为．
20．(1)；3
(2)98
【分析】（1）根据题意可求出，则，再估算出，可得 ；
（2）根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则可求出，据此可得到答案．
【详解】（1）解：（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
……，
以此类推可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（2）解：∵，，
∴，，，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
∵ ，且，
∴，且n为正整数
∴的最大值为98．
答案第1页，共2页
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