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19.3 二次根式的加法与减法暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④
2．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则与的值不可能是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列各式计算正确的是（）
A． B． C． D．
5．已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
8．下列二次根式能和合并的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（）
①若，则；
②若，时，则至少存在一组、满足条件，
③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________．
12．已知有理数a、b满足，则，．
13．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数）
14．刘徽在《九章算术注》的“开立圆术”中提出：对于正整数，若球体积公式（为直径）存在误差，可用“以盈补虚”法修正．其思想可推广至求二次根式的近似值：对于正整数，若（为正整数，为非零整数且最小），则．用此方法计算的近似值为_____（结果保留两位小数）．
15．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．根据刹车后车轮的滑动距离可以估计车辆的速度，所用公式是，其中v表示车速（单位：），g表示重力加速度，取，d表示刹车后车轮的滑动距离（单位：m），μ表示摩擦系数．在某次交通事故中，测得，．已知该路段限速，该汽车超速了吗？请说明理由．
18．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)求矩形木板的面积；
(2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
19．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”．
(1)若与是互为“相关代数式”，则______ ；
(2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值；
(3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值．
20．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小宇的解题过程，解决如下问题：
(1) ；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C A C D D B A
1．B
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，，，
∵ ，
∴，
即，
∴，
∴代数式从小到大顺序为④②③①，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故选：B．
3．A
【分析】根据二次根式运算法则，将各选项代入计算即可．
【详解】解：A、当，时，，故该选项符合题意；
B、当，时，，故该选项不符合题意；
C、当，时，，故该选项不符合题意；
D、当，时，，故该选项不符合题意．
4．C
【详解】解：选项A：，
A计算错误，
选项B：，
B计算错误，
选项C：根据二次根式的性质，当时，，
，C计算正确.
选项D：，
D计算错误．
5．A
【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程．
【详解】解：，
，
两边同时平方得：
展开得：
整理得：
将代入得
原式．
6．C
【分析】根据同类二次根式的合并法则逐一判断选项，只有同类二次根式才可合并，合并时系数相加减，被开方数保持不变．
【详解】解：对于A选项，与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
对于B选项，，∴B错误；
对于C选项，，计算正确，∴C正确；
对于D选项，化简得，∴D错误．
7．D
【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式．
【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误；
选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误；
选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误；
选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确．
8．D
【分析】只有同类二次根式可以合并，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同即可合并．
【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不能合并；
B、，不能和合并；
C、 是最简二次根式，被开方数为，与不同，不能合并；
D、，化简后被开方数为，与的被开方数相同，因此能和合并．
9．B
【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和，
∴正方形的边长为，正方形的边长为,
阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和，
阴影部分长方形的长为，宽为,
阴影部分的面积为．
10．A
【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误．
【详解】解：①若，
则，
整理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若成立，
解得，与已知，均为正整数矛盾，
∴不正确，
∴①错误；
②若，，
则，
∴，
整理得，，
∴，
∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等，
∴不存在满足条件的m，n，
∴②错误；
③，
∵均为正整数，且不是完全平方数，
比较等式两边的有理部分与无理部分可得．
两边平方得．
∵均为正整数，
∴．
∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数，
∴，即，
此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件．
∵，
∴，
∴，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴不存在正整数，，，使等式成立，
∴没有符合条件的A，B，
∴③错误．
综上可知，三个说法均错误．
11．0
【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解．
【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c，
由题意得：，
∴．
12．，
【详解】解：∵，
且，
∴，
解得：．
13．
【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果．
【详解】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，．
代入近似公式，得：
．
14．13.68
【分析】根据题目给出的近似方法，先将表示为的形式，确定满足最小的正整数和非零整数，再代入近似公式计算，结果保留两位小数即可.
【详解】解：由题意，对，找出满足条件的和，
∵，，
若取，则，此时，
若取，则，此时，满足最小的条件，
因此，，代入近似公式得：
∴.
15．
【分析】根据，求解即可
【详解】解：，
原式
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．该汽车超速了，理由如下：
当，时，，
∵，
∴，
∵
∴
∴该汽车超速了．
【分析】求出该汽车的速度，比较即可得出结果．
【详解】略．
18．(1)
(2)不能截出，理由如下：
假设根据乙木工采用的方式知两个相同正方形的面积为是可行的，则正方形的边长为，可知两个相同正方形的总长为．
，
乙木工采用的方式不能截出．
【分析】（1）根据正方形的面积，求出边长，得出矩形木板的长和宽，即可解答；
（2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：根据甲木工采用的方式可知：小正方形的面积为，大正方形的面积为，
小正方形的边长为，大正方形的边长为．
矩形木板的长为，宽为．
矩形木板的面积为．
（2）略
19．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可；
（2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可；
（3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”，
，
则；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
，，
，
则，
即，
，都是有理数，
， 解得，
；
（3）解：代数式与互为“相关代数式”
，
则，
，即，
则有，解得，
时二次根式有意义，
．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案；
（3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）设n为正整数，
则
，
∴
；
（3）解：∵
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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