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20.1 勾股定理及其应用 暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13
3．如图，在中，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A．27 B．24 C．21 D．15
5．在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，转化为数学语言是（为勾，为股，为弦）．若“勾”为，“股”为，则“弦”为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（ ）
A．拼接前后图形的总面积保持不变
B．拼接后大正方形的边长为
C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形
D．该剪拼过程可直观验证勾股定理
9．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
二、填空题
11．采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________．
12．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________．
13．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米．
14．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________．
15．如图，中，，为线段上一点，点关于所在直线的对称点刚好在线段上，连接．点关于所在直线的对称点刚好在线段上．连接，若，，则的大小为________°，的长是________．
三、解答题
16．如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D．
(1)求初始状态下的水平距离的长．
(2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号）
17．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光．
(1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度；
(2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？
18．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．
(1)
(2)
19．先阅读下列材料，再解决相关问题：
【阅读理解】若两个角，满足，则称，为一组“绝配角”．绝配角的组合有很多种，条件比较隐秘，需要经过倒角以后才会出现．借助绝配角，可以通过构造等腰三角形，或者通过平角构造角平分线与全等三角形，实现角和线段的转移．常用辅助线有两类：
①绝配角共顶点，构造平角，利用角平分线构造全等；②绝配角不共顶点，构造以为顶角（或以为底角）的等腰三角形．
【解决问题】如图，在中，，，点在边上，作，且．
(1)判断与是否为一组绝配角，并说明理由；
(2)若，，试求线段的长．
20．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．
(1)如图1，连接，若，，，求的面积；
(2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
(3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B C C C A A
1．A
【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断．
【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，，
∴ 斜边为的对边，，为两条直角边，
根据勾股定理得 ．
2．C
【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可．
【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意；
B、，，，故不是勾股数，不符合题意；
C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意；
D、，，，故不是勾股数，不符合题意；
3．B
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：．
4．A
【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积．
【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴正方形的面积为．
5．B
【分析】根据两点之间的距离公式，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为，
∴点到原点的距离为 ．
6．C
【分析】已知勾和股的数值，直接代入题目给出的弦的计算公式求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
因此“弦”为．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
设的长为，则，
，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴绳索的长是．
8．C
【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案．
【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意；
B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积，
∴拼接后的大正方形的面积为，
∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意；
C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意；
D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c，
∴，即，原说法正确，不符合题意；
9．A
【分析】按照题意，分三种情况展开蚂蚁爬过的面成平面图形，再由勾股定理求解长度，比较各个情况大小即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分三种情况：
将右面向前面展开，如图所示：
在中，，，，则，由勾股定理可得；
将上面向前面展开，如图所示：
在中，，，，则，由勾股定理可得；
将右面向下展开，如图所示：
在中，，，，则，由勾股定理可得；
，
，
则爬行的最短路程为．
10．A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．
根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断．
【详解】解：图甲中，∵，
∴三角形是直角三角形
再根据垂线段最短，可知，
∴图甲可验证；
图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得
∴
∴
无法验证；
故选：A．
11．
【分析】根据已知条件，及求出，在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，由得到的长，最后根据计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．
【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答．
【详解】解：∵点P是上的动点，
∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
13．
16
【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果．
【详解】解：设树折断部分的长度为米．
由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形，
其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米．
根据勾股定理，得．
所以树折断之前的高度为米．
14．
【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论．
【详解】解：由，，，
…
第n个勾股数组中间的数为，
第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为．
15． 20 6
【分析】根据轴对称可得：，，，，，，求出，设，则， 根据，得出，求出结果即可；过点E作于点G，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：根据轴对称可得：，，
，
，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点E作于点G，如图所示：
则，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，
开平方得：，
解得：，（舍去），
∴．
16．(1)；
(2)
【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可；
（2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为．
，
为直角三角形，
解得，
答：初始状态下的水平距离的长为；
（2）解：由于斜梁的长度比水平距离多，
∴斜梁的长为，
由题意得，降低后竖直高度为．
在中，，
解得．
∴斜梁底部移动距离为，
答：斜梁落点C向外移动了．
17．(1)米
(2)解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米，
垂直距离：米，
在中，根据勾股定理：，
因为，
可得米，
即人到的距离超过米，
因此结论：灯不会发光．
【分析】（）通过构造矩形得到水平距离和对应高度差，再在直角三角形中利用勾股定理求出传感器到人的垂直高度，最后加上人的身高得到传感器离地面的总高度；
（）先算出传感器到人的垂直高度差，再结合水平距离用勾股定理求人与传感器的直线距离，将该距离与米比较，判断灯是否发光．
【详解】（1）解：过人的头顶作于，
由题意可知四边形是矩形，
∴，，灯刚好发光时，
在中，根据勾股定理：米，
因此传感器离地面的高度：米；
（2）略
18．(1)
(2)
【分析】根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，根据勾股定理，
，
∴．
（2）解：在中，根据勾股定理，得
，
则，
∴．
19．(1)与是一组绝配角．
理由如下：
设，则．
在中，，
．
．
与是一组绝配角；
(2)
【分析】（1）设，则．根据绝配角的定义，分别表示两个角并计算两个角的和即可；
（2）延长至，使，连接，可以证得，得到，，，从而根据互补的性质可以得到，进而用勾股定理可以求出的长，即可求解．
【详解】（1）略；
（2）延长至，使，连接．
，
．
，
．
又，
在和中，
，
，，，
在中，，
由（1）可得：，
．
，
，
在中，，
∴，
∴在中，．
20．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据，可得都是等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解；
（2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解；
（3）根据折叠的性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，利用含30度角的直角三角形的性求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T，
∵，
，
∵，
，
，
，
∴，
平分，
，
又
∴，
，
∵，
，
∵，
，
∴，
，，
∴；
（3）解：如图，
∵，，
当时，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
，
∴，，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
∴，即，
∴，
如图，连接，
∵，
，
，
∴是等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
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