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20.2 勾股定理的逆定理及其应用 暑期专项练习
2025-2026学年人教版八年级数学下册
一、单选题
1．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
3．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．60
5．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（）
A．三个内角度数之比为 B．三边之比为
C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2，
7．在中，，，分别是，，的对边．下列条件不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
8．下列命题：①若a、b、c为一组勾股数，则4a，4b，4c仍为勾股数；②若直角三角形的两边长是3和4，则另一边必是5；③若一个三角形的三边分别是12，25，21，则此三角形是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（），那么：1：1．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
9．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北
10．如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______．
12．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______．
13．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．
14．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____．
15．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；若，，，则的长为______．
三、解答题
16．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西．
(1)求甲巡逻艇的航行方向；
(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
17．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．
(1)求边的长；
(2)连接，判断的形状；
(3)求这块空地的面积．
18．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数．
19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
(2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为．
20．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A A A B C B B
1．D
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出直角顶点，再结合三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：∵，
∴根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，
∵三角形内角和为，
∴．
2．C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
3．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答．
【详解】解：如图：连接CE，
由图可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键．
先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，，
，
在中，，，，则，，，
，
即是直角三角形，且，
则，
在中，，，，则的面积为，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴三角形菜地为直角三角形，
∴三角形菜地的面积为．
故选：A．
6．A
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为
∴最大角为，
∴此时三角形不是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵三边之比为，
∴设，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵三边长分别为，2，，
∴，
∴三角形为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
7．B
【详解】解：A．∵，
∴，
∵，
∴，得，
∴是直角三角形，不符合题意；
B．∵，
∴最大角，
∴不是直角三角形，符合题意；
C．由整理得，即，
根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意；
D．∵，，
∴，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意．
8．C
【分析】本题考查勾股数的定义，勾股定理和直角三角形的判定，根据相关概念和定理逐一判断每个命题即可得到答案；
【详解】解：
①∵、、为一组勾股数，不妨设，且、、都是正整数，
∴， 且、、都是正整数，因此、、仍是勾股数，故①正确；
②直角三角形的两边长为3和4时，若4是斜边，第三边长为，不一定为5，故②错误；
③∵，， ∴，因此这个三角形不是直角三角形，故③错误；
④∵等腰直角三角形中，是斜边， ∴，即，
∴，故④正确；
综上，正确的命题是①④；
9．B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可.
【详解】解：由题意，，
，
，，
是直角三角形，且，
舰艇在海岛的北偏西方向
与正北方向的夹角为，
与正北方向的夹角为，
渔船在海岛的北偏东方向 上.
10．B
【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出．
【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1，
由点都在格点上和勾股定理可求得，
，且
是等腰直角三角形，，
由平行线性质知，
．
11．等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形
【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状．
【详解】解：
∴
∴
∴
或
∴或
又∵a，b，c是的三条边，
是等腰三角形或直角三角形．
12．南偏东
【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向．
【详解】 ∵海里，海里，海里，
∴，
∴是直角三角形，．
∵ 轮船方向为北偏东，，
∴与正南方向的夹角为，
因此渔船从港口出发的方向为南偏东．
13．是
【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路．
14．
【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．
【分析】先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出．
【详解】解：连接，，如图所示：
由尺规作图可知，垂直平分垂直平分，
∴，，
∴，
在中，，，
∵，
即，
∴为直角三角形，且，即．
在中，由勾股定理得：．
16．(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东
(2)6.5海里
【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键．
（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】（1）解：由题意得：，
（海里），（海里），
（海里），
，
是直角三角形，
，
，
甲的航向为北偏东；
（2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里），
乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里），
3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）．
17．(1)
(2)是直角三角形
(3)这块空地的面积为
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【详解】（1）解： ，
．
在中，
，，
．
是的中点，
．
（2）解：如图，
，是的中点，
．
，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，
，
由（1）可知，，
这块空地得面积为：．
18．正确．理由：
∵表示大于的整数，
∴都是正整数，且是最大边，
∵，
∴即为勾股数，
当时，可得一组勾股数．
【分析】根据勾股定理计算其中较小两边的平方和，判断是否等于第三边的平方，继而证明结论，写出当时，组成的一组勾股数即可.
【详解】略.
19．(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求．
【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可画图．
【详解】（1）解：由网格可知：，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴即为所求；
（2）解：由网格可知：，，，
∴，，
∴是直角三角形，
∴即为所求；
20．(1)点C到铁路的距离为
(2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为
【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题．
（2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答案第1页，共2页
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