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21.1 四边形及多边形 暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．如图，某学校的电动伸缩校门蕴含的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间，线段最短
2．下列图形中，属于凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变
4．山西博物院藏有一件金代十方形瓷杯，出土于晋南地区窑址，杯口呈正十边形，体现了宋金时期北方制瓷工匠对几何造型的巧妙运用．十边形的内角和为( )
A． B． C． D．
5．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5
8．下列说法错误的个数是（ ）
①对于边形一个顶点的对角线有条
②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形
③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形
④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形
A．1 B．2 C．3 D．
9．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．某校计算机小组的小张同学设计了一张卡通头像如图①所示，他的制作过程如下：如图②，首先以为边，在同侧作正五边形和正方形，然后连接，，最后隐藏线段，，并添加眼睛和嘴巴，的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________．
12．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________．
13．如图，的度数为___________．
14．“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则__________．
15．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖铺设，从里向外共铺了层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为 ，则第层的外边界所围成的多边形的周长是______．
三、解答题
16．计算：
(1)已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是多少？
(2)一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为多少？
17．如图，将一个边长为的正方形硬纸板剪去四个角，使它成为正八边形．
(1)求正八边形的边长；
(2)若另一个正多边形的每个外角的度数比正八边形的每个内角的度数小，求这个正多边形的边数．
18．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．
(1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______；
(2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值．
19．小琪利用三角形卡纸对几何图形中角的关系进行探究，在中，，分别为和的平分线．
(1)如图①，若为等边三角形，则与的数量关系为________，________；
(2)如图②，小琪将沿剪下一角后得到四边形，已知，试猜测与之间的关系，并说明理由；
(3)若小琪将（2）中的图形继续沿剪下一角后得到五边形，如图③，请直接写出与之间的关系．
20．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，．
【结论探究】
(1)如图，当，时，计算___________；
【结论推导】
(2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论；
【结论应用】
若直线分别平分四边形的外角和．
(3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________；
(4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D B A B A A B
1．B
【详解】解：由题意得，某学校的电动伸缩校门蕴含的数学原理是四边形的不稳定性．
2．C
【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧．
【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形，
因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意；
多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意．
3．D
【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案．
【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变．
故选D．
4．D
【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可．
【详解】解：十边形的内角和为；
5．B
【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可.
【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B.
6．A
【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3．
【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条，
∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6．
∴原多边形边数不可能为3．
故选：A．
7．B
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
8．A
【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数即可得到结果．
【详解】解：① 对于任意边形，过一个顶点，除去自身和相邻两个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为，因此过一个顶点的对角线条数为，不是，故①错误；
② 不共线三点可构成一个三角形，分别以三角形的三条边作为平行四边形的对角线，可作出个不同的平行四边形，故②正确；
③ 正多边形的定义就是各边相等且各内角相等的多边形，该说法符合定义，故③正确；
④ 过边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，令，解得，因此这个多边形是七边形，故④正确；
综上，错误的说法共个，
故选：A．
9．A
【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解．
【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为；
五边形可以分成三角形的个数为；
六边形可以分成三角形的个数为；
；
∴边形可以分成三角形的个数为；
当，则可以分成三角形的个数为．
10．B
【分析】由正五边形和正方形的性质分别求出，，进而可求，因为，则可求，则可求．
【详解】解：∵在正五边形和正方形中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．7或8
【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可．
【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理可得：，
整理得，
多边形每个内角满足内角，
∴少算的2个内角和的范围，
即，
移项得，
不等式同除以得，
为正整数，
∴或．
12．
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数．
【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式，
解得．
因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了，
所以原多边形边数为．
故答案为：．
13．/360度
【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
∴．
故答案为：．
14．75
【分析】根据任意多边形的外角和为360度即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴．
15．
【分析】观察图形，可知第层外边界是边形， 即得到第层外边界是边形，据此即可求出多边形的周长．
【详解】解：由图可知，从里向外的第层外边界是边形， 第层外边界是边形， 此后，每层都比前一层多条边，依此类推，
∴第层外边界是边形，
当时，第层外边界是边形，
又∵边长为，
∴第层外边界所围成的多边形的周长是．
16．(1)这个正多边形的边数是
(2)这个正多边形的内角和为
【详解】（1）解：∵一个正多边形的每个外角都为，
∴这个正多边形的边数；
（2）解：设所求正多边形边数为，
则，
解得，
这个正多边形的内角和为．
17．(1)
(2)5
【分析】（1）根据正八边形的性质得到被剪掉的四个角是全等的等腰直角三角形，利用方程思想和等量代换求解；
（2）根据“外角度数为”和正多边形内角的度数为“”进行求解．
【详解】（1）解：∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，
∵在和中，，
∴，
∴，
设，则，
∵，解得，
∴，
即正八边形的边长为；
（2）解：设这个正多边形的边数为n，
依题意得
解得
∴这个正多边形的边数为5．
18．(1)
(2)6
【分析】（1）根据周角为进行解答即可；
（2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值．
【详解】（1）解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于；
（2）解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为，
如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形，
∴中间正多边形的每个外角为：，
∴．
19．(1)，
(2)
解：，理由如下：
在中，，
，
，分别为和的平分线，
，
，
在四边形中，，
，
；
(3)
【分析】（1）由为等边三角形，得，，
利用，分别为和的平分线，易得，可得，；
（2）先求出，，在四边形中，，得到，得到；
（3）连接，延长与的延长线交于点，由（2）知：，，先求出五边形内角和为，得到，即可得到．
【详解】（1）解：为等边三角形，
，，
，分别为和的平分线，
，，
，
，；
（2）略
（3）解：，理由如下：
如图，连接，延长与的延长线交于点，
由（2）知：，，
五边形内角和为，
在五边形中，，
，
，
．
20．(1)；
(2)，证明见解析；
(3)；
(4)在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）．
【分析】（）连接，根据三角形的外角性质即可求解；
（）连接，根据三角形的外角性质即可求解；
（）过作，则，所以，，又平分，平分，则，，从而可得由（）得，，则，然后通过等式的性质即可求解；
（）分当在内部时，当在内部时，如图，当在内部时，分别通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）解：，
证明：连接，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴
，
∴；
（3）解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
由（）得，，
∴，
∴；
（4）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
当在内部时，如图，设与交于点，
∴，，
∴

，
∴，
解得：，
当在内部时，如图，设与交于点，
∴，
∴，
解得：；
如图，当在内部时，
同理，
∴，
解得：，
综上可得：在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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