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21.2 平行四边形暑期专项练习2025-2026学年人教版
八年级数学下册
一、单选题
1．如图，窗户的支撑装置被设计成，其中运用的数学原理是（ ）
A．平行四边形的不稳定性
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．14
5．如图，直线，点A在直线a上，点B在直线b上，连接，于点C．若，，则平行线a，b之间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为________．

12．如图，在中，，，将沿射线方向平移得到，连接，若，平移距离为2，则阴影部分的面积为______．
13．如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，．则_____．
14．如图，在中，，，，与交于点，和的角平分线交于点，则图中阴影部分的面积为__________．
15．如图，在平行四边形中，D是定点，点A，C分别在互相平行的，上运动．点D到的距离为1米，到的距离为5米，则对角线的最小值为________米．
三、解答题
16．跨学科学习
问题情境 小帅同学要买一面矩形镜子，并将其悬挂在墙面上，要确保站在镜子前一定的距离能看到自己的全身．（说明：镜子为平面镜，镜面紧贴墙面，且镜子的下侧边缘与地面平行，点C记为小帅的眼睛，为小帅在镜子中的像）
图形展示 示意图 几何图形
测得小帅的身高为a，头顶A到眼睛C的距离为b，身体的最大水平宽度为c，小帅与镜面间的水平距离为l．（单位：）
(1)求镜子竖直长度的最小值，以及悬挂后镜子上侧边缘与地面的距离；
(2)镜子水平宽度的最小值为 ；（直接写结果）
(3)当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度 ，镜子的水平宽度 ，镜子上侧边缘与地面的距离 ．（在横线上填写字母代号）
A．需增大 B．需变小 C．不需改变
17．如图，将线段沿某个方向平移8个单位得到线段，其中点是的对应点，且点不在直线上，连接，交于点，若是中点，求的长度．
18．命题“在四边形中，若，，则四边形是平行四边形”为假命题，请完成以下任务：
(1)如图，在所给图形的基础上，作出该命题的一个反例的四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的反例图形中，已知，，，求线段的长．
19．如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：．
20．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C A B D C D B
1．A
【详解】解；∵平行四边形不具有稳定性，可以自由伸缩，
∴窗户的支撑装置被设计成平行四边形．
2．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可.
【详解】解：∵，
∴，，，
不一定成立，结论A错误，符合题意．
故选：A．
3．B
【详解】解：A、∵
又∵，
∴
∴
∴
同理可得，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、由，无法证明四边形为平行四边形，故B符合题意；
C、∵，
∴四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意．
4．C
【分析】根据和是等底等高的两个三角形，其面积相等，计算即可；
【详解】直线，点、、在直线上，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，
和是等底等高的两个三角形，
．
5．A
【分析】根据平行线间距离的定义，线段的长即为平行线、之间的距离，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】，
，
在中，，
，，
，
，，
∴线段的长即为平行线a、b之间的距离，
∴平行线a、b之间的距离为3．
6．B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
7．D
【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量．
【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；

两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；

故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键．
8．C
【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可．
【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点，
∴可得，
由图可知，点D不可能在第三象限．
9．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键．
利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点
∴ ， ， ，
∴
根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有：
四边形：已知条件；
四边形：∵且；
四边形：∵且；
四边形：∵且；
四边形：且；
四边形：且；
综上，图中共有个平行四边形．
故选：D．
10．B
【详解】解：A、， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、， ． 又， 四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、， ． 又， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、， ， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意．
11．/
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
12．8
【分析】过点A作于点M，根据勾股定理，求出，由，求出，由平移，得，推导出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点A作于点M，如图
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
由平移，得
，
∴四边形是平行四边形，
∴阴影部分的面积为．
13．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，结合中点定义得出，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形对角相等及邻补角定义即可求解．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
14．
【分析】根据平行四边形的性质求出、的长及的度数，利用三角形面积公式求出的面积；根据角平分线的定义求出和的度数，判定为直角三角形并求出其面积；最后利用计算即可
【详解】解：作于，
四边形是平行四边形，
，，， ，
，，
∴，
由勾股定理得，
四边形是平行四边形，与交于点 ，
为的中点，
，
平分，平分，
，，
，
在中， ，
，
由勾股定理得 ，
，
.
15．6
【分析】取得中点O，过点O作，连接，交，于点F，点G，证明，得到，根据垂线段最短，得当时，取得最小值，此时，求解即可；
【详解】解：取的中点O，过点O作，
，
，
连接，交，于点F，点G，
,
，
∵，
∴，
∴，
根据垂线段最短，得当时，取得最小值，此时，
∵点D到的距离为1米，到的距离为5米，
∴之间的距离为米，
∴米，
∴米，
∵平行四边形，
∴米，
故对角线的最小值为6米．
16．(1)，
(2)
(3)C；C；C
【分析】（1）当是的中位线时，最小；是的中位线，由即可求解．
（2）由对称性质知镜子水平宽度的最小值为身体水平宽度的一半；
（3）利用对称的性质即可完成．
【详解】（1）解：由对称知，分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
由题意知，当是的中位线时，最小，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：由对称性质知，镜子水平宽度的最小值为身体水平宽度的一半；
即镜子水平宽度的最小值为；
（3）解：当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度不变，镜子的水平宽度不变，镜子上侧边缘与地面的距离不变．
17．4
【分析】连接，根据平移的性质，推出四边形为平行四边形，进而得到为的中位线，即可得出结果.
【详解】解：连接，
∵将线段沿某个方向平移8个单位得到线段，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵是中点，
∴为的中位线，
∴.
18．(1)如图所示：四边形为所求作图形．
(2)
【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作，再以点为圆心，的长为半径画弧交于点D，则四边形即为所求；
（2）过点作交于点，于点，证明四边形是平行四边形， 得到，，由三线合一定理得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点作交于点，于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
∴，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得．
19．证明：∵ 四边形是平行四边形
∴ ，
∴
又∵，
∴
在和中
∴
∴
【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．
【详解】略
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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