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21.3 特殊的平行四边形 暑期专项练习2025-2026学年人教版八年级数学下册
一、单选题
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．每条对角线平分一组对角
2．如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
9．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
10．如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
11．如图，四边形和都是菱形且点A，B，E在同一条直线上，点C是上一点，已知．
（1）__________°；
（2）连接，点H是的中点，连接，若，则__________．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，．点F是DC上的动点，将沿AF折叠，点D的对应点为分别与BC相交于点G，O．当时，BG的长为________．
13．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，若，，则四边形的周长是________．
14．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________．
15．如图，平面直角坐标系中，两坐标轴将正方形分割成四个全等的四边形．已知顶点的坐标为，则正方形的边长为__________．
三、解答题
16．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，林老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为 ， ；
(2)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，E，F是正方形的对角线所在直线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
17．如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，且，，求的长．
18．如图，矩形中，点，分别在边，上，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，求线段的长．
19．定义：对角线相互垂直的凸四边形叫“对垂四边形”．
(1)知识感知：下列四边形中，是对垂四边形的是__________（填写序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)概念理解：如图1，在四边形中，已知，，求证：四边形是对垂四边形；
(3)性质探究：如图2，已知四边形是对垂四边形，，相交于点，求证：；
(4)结论运用：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，，已知，，求的长．
20．如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D D C B B A D
1．D
【分析】只需对比两类图形的性质，逐一判断选项即可得出结论．
【详解】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形的性质为二者共有，
∵平行四边形具有对角线互相平分、对边平行且相等的性质，
∴选项A，C都是菱形和矩形共有的性质，不符合题意；
∵对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，
∴选项B不符合题意；
∵菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，
∴该性质是菱形具有而矩形不一定具有的性质，故选项D符合题意．
2．B
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
3．D
【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果.
【详解】解：∵，两点的坐标分别是，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴轴，轴，，
又∵点在第一象限，
∴.
4．D
【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵四边形是矩形，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，原选项说法正确，不符合题意；
、∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意；
故选：．
5．D
【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可．
【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
6．C
【详解】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状．
可知将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是菱形．
7．B
【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到．
【详解】解：如图，取点，，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
8．B
【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A．（1）处若填，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形是矩形，故A选项添加正确，不符合题意；
B．（2）处若填，因为矩形的对边本身就相等，该条件无法判定矩形是正方形，应填等邻边相等的条件，故B选项添加错误，符合题意；
C．（3）处若填，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知四边形是菱形，故C选项添加正确，不符合题意；
D．（4）处若填，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知四边形是正方形，故D选项添加正确，不符合题意．
9．A
【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可．
【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质，
矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
10．D
【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据折叠的性质可得，，为中点；设，在和中利用勾股定理列方程求出，进而求出的长；最后在中利用勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，，如图，
四边形是正方形，边长为6，
，，
在中，，，
，
，
由折叠的性质可知，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，解得，
，
，
，
在中，．
11． 120
【分析】（1）根据菱形的性质结合平行线的性质即可解答；
（2）如图，连接、、，与交于点O，根据菱形的性质和，证明是等边三角形，得出，证明，根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形和都是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
（2）如图，连接、、，与交于点O，
∵四边形和都是菱形，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵是斜边上的中线，
∴．
12．
【分析】由矩形的性质得出∶，．
由折叠的性质得出，，，证明，得出，，进一步得出，
设，则，再得出，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：由矩形的性质得出∶，．
由折叠的性质得出，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
解得，
即．
13．
【分析】根据矩形和勾股定理的性质，得；根据平行四边形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵矩形的对角线、相交于点，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长．
14．
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，结合已知条件利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后利用菱形面积公式求解．
【详解】解：如图，连接，设与交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
15．
【分析】连接，过点A作轴于点E，根据题意可得，再求出的长，即可求解．
【详解】解：连接，过点A作轴于点E，
∵两坐标轴将正方形分割成四个全等的四边形，
∴点O为正方形的中心，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
16．(1)①相等；②相等且互相垂直
(2)证明：连接交于点，如图
四边形是正方形，
，，．
，
，
即．
又，
四边形是平行四边形．
，
∴四边形是菱形．
【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可；
（2）连接交于点，根据正方形的性质，得到，，，继而推导出，得到四边形是平行四边形，再根据，可得到四边形是菱形，即可解答．
【详解】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为①相等，②相等且互相垂直；
（2）略
17．(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵直线分别交、的延长线于点、，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
(2)
【分析】（1）利用矩形对边平行且相等，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形；
（2）根据菱形四边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求出，再等量代换得到．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故．
18．(1)证明：四边形为矩形，，，
，，，，
，
∴
四边形是菱形
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）连接，交于点，勾股定理求得，进而可得的长，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理，求得，进而即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，交于点，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
19．(1)③④
(2)证明：如图，连接，，
∵，
∴点在的中垂线上；
∵，
∴点也在的中垂线上，
∴，
∴四边形是对垂四边形；
(3)证明：∵四边形是对垂四边形，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴；
(4)
【分析】（1）①平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，不符合要求；
②矩形的对角线相等且互相平分，不垂直，不符合要求；
③菱形的对角线互相垂直平分，满足要求；
④正方形的对角线互相垂直平分且相等，也满足要求；
因此符合条件的是③④．
（2）已知，说明点在的垂直平分线上，已知，说明点也在垂直平分线上，可得直线是的垂直平分线，，再结合四边形是凸四边形，即可得证；
（3）在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得；两式相加；同理可得，等号右侧完全相等，可得等号左侧完全相等；
（4）连接，先证，得到，结合对顶角相等可推得，得到四边形是对垂四边形；结合第（3）问可得；可设，已知是直角三角形，用表示，再代入，进一步求出．
【详解】（1）是对垂四边形的是③④
（2）略
（3）略
（4）解：连接线段、，设、相交于点，交于点，
∵正方形和正方形，
∴，
∵，.
，
在和中
，
，
，
，
，
，
设
则，
，，
，
∴
．
20．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
(2)
【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据菱形的判定定理进行求证即可；
（2）过点作，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，，，进而可得，最后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：过点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵为对角线的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
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