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23.1 一次函数的概念 暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．能在数轴上表示出的点
B．若n是正整数，是整数，则n的最小值是3
C．正比例函数一定是一次函数
D．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为48
5．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
6．，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
7．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2 E．1
8．已知函数是正比例函数，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．3或5
9．如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系
10．已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ）
A． B．24 C． D．12
二、填空题
11．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________．
12．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________．
13．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积y随半径x的变化而变化．其中y与x的函数关系是正比例函数的是_____（只需填写序号）．
14．一次函数的图象经过，则的值是___________．
15．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点、，这两个点为和等点，等和为，则的长为______．

三、解答题
16．已知y与成正比例，当时；
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求x的值．
17．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表：
1 2 3 4 5
(1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____．
(2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？
18．某公司拟采购一辆运输车，现面临传统燃油（汽油）车与电车两种选型方案．一辆传统燃油车的购买成本是13万元，每千米的燃油费用为元；一辆电车的购买成本为20万元，每千米的电费为元．设车辆行驶路程为（单位：万千米），传统燃油车总费用为（单位：万元），电车的总费用为（单位：万元）．
(1)请写出，关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）；
(2)若公司预算不超过25万，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？
(3)在平面直角坐标系中，分别画出两个函数的图像．观察图像，根据运输业务，当车辆的总路程达到50万千米，你认为购买哪种车更合算？
19．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高．
20．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”．
如点为点的“级上升点”．
(1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________；
(2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值；
(3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D D A C B B A
1．B
【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可．
【详解】∵是关于的正比例函数，
∴根据正比例函数的定义可得，
解，得，即，
由，得，
∴．
2．C
【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m，
∴点B的坐标为，
∵点A的坐标为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当取得最小值时，应满足的条件是，
故选：C
3．C
【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值．
【详解】解：当时，，
解得．
∴当时，得．
故选：C．
4．D
【分析】根据实数与数轴之间的关系，完全平方数的定义，正比例函数的定义以及菱形的面积的求解逐个判断选项正误，找出错误说法即可．
【详解】选项A：∵ 所有实数都能在数轴上表示，是实数，
∴ 能在数轴上画出表示的点，不符合题意；.
选项B：化简得，
∵ 是正整数，是整数，
∴ 是完全平方数，的最小值为，不符合题意；
选项C：∵ 一次函数形式为，当时，一次函数即为正比例函数，
∴ 正比例函数是特殊的一次函数，不符合题意；
选项D：∵ 菱形对角线互相垂直平分，
∴ 是直角三角形，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，，
∴ 菱形面积，符合题意．
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴当时，，即直线一定经过点，
故选：D．
6．A
【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号．
【详解】解：∵，是一次函数图象上不同的两点，
∴，，
∴，
∴，
∵A、B是不同两点，
∴，
∴，
∴，
即．
7．C
【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可．
【详解】解：①可化为，符合一次函数定义；
②不符合一次函数定义；
③可化为，符合一次函数定义；
④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义；
⑤展开化简为，符合一次函数定义；
⑥不符合一次函数定义．
综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C．
故选：C．
8．B
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果．
【详解】∵是正比例函数，
根据正比例函数定义可得，
解得：或，即或，
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
9．B
【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键．
根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系.
【详解】解：∵是的正比例函数，
∴ .
∵是的一次函数，
∴ .
将代入，得 .
其中和为常数，且，
∴是的一次函数.
故选：B.
10．A
【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，
∴a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键．
11．5
【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值．
【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义．
∵该一次函数是正比例函数，
∴，
解得：．
12．或
【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值.
【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ，
点在这个“衍生函数”的图象上，
分两种情况讨论：
当时，将点坐标代入得 ，
解得，满足，符合题意.
当时，将点坐标代入得
解得，满足，符合题意.
综上：的值为或.
13．②
【分析】根据题意分别写出三个问题中与的函数关系式，结合正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：①根据题意可得y与x的函数关系式为，即，它是一次函数，不是正比例函数．
②根据题意可得y与x的函数关系式为，它是正比例函数．
③根据题意可得y与x的函数关系式为，它不是正比例函数．
综上所述，y与x的函数关系是正比例函数的是②．
14．
【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值．
【详解】解：将代入，得：，解得：．
15．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、矩形的性质，平面直角坐标系中两点间距离公式，设点，点，由题意可得，，，，可知点均在直线上，在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，求出的坐标即可得出求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：设点，点，
由题意可得，，
∴，，
∴点均在直线上，
在平面直角坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，

令时，，令时，，
∴，或，，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键
（1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式；
（2）将代入（1）的关系式，计算求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴解析式为；
（2）解：将代入得：，
解得．
∴x的值为．
17．(1)
(2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元
【分析】本题考查正比例函数关系式：
（1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解；
（2）将代入（1）中关系式，即可求解．
【详解】（1）解：由表可知，，
售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：；
（2）解：当时，，
即当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元．
18．(1)，
(2)传统燃油车最多行驶8万千米，电车最多行驶6.25万千米，选择传统燃油车
(3)图见解析，选择购买电车
【分析】（1）直接根据题意列函数关系式即可；
（2）分别求得、两种情况下x的取值范围，然后比较即可解答；
（3）先根据题意画出函数图像，然后根据函数图像即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，．
（2）解：令，即，解得．
令，即时，解得．
∵，所以即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车．
（3）解：根据题意画函数图像如下：
由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，电车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买电车．
19．函数关系式为，山高为
【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可．
【详解】解：已知海拔每增加，气温下降，
因此每升高，气温下降．
山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温，
因此函数关系式为：，
将山顶温度代入函数关系式得：，
解得．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用新定义计算解题；
（2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值；
（3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可．
【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即，
故答案为：．
（2）解：∵点的“2级上升点”为点Q，
∴点Q的坐标为，
又∵点Q在函数图象上，
∴，
解得：；
（3）解：设直线上的点坐标为且，
则这点的“级上升点”坐标为，
即，
当时，则
整理得：，
则，解得无解；
当时，则，
解得：，
即，解得，
综上所述：．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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