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23.2 一次函数的图象和性质 暑期专项练习2025-2026学年
人教版八年级数学下册
一、单选题
1．正比例函数的图像经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．正比例函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下：
… 0 1 2 …
… 3 2 …
小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．如图，某一次函数的图象过图中A，B两点，则下面结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．关于正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限
C．不论取何值，总有 D．随的增大而减小
7．若将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中、为菱形的两个相邻内角的度数，那么下列说法不正确的是（ ）
A．有一个内角等于的菱形的接近度
B．接近度越大的菱形越接近于正方形
C．当时，该菱形是正方形
D．菱形的接近度的取值范围是
8．若点，在一次函数的图象上，且，则下列k的取值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．点，是直线上不重合的两点，则
10．对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论：
①若，当时，x有唯一的对应值5；
②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有；
③若，，则无论a为何值，都有；
④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为．
上述结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______．
12．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______．
13．已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如表所示，
… …
… …
比较大小：____________（填“”“”或“”）．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当落在边的中线所在的直线上时，点的横坐标为________．
15．如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，，、分别是直线、轴上的动点，则周长的最小值是_______．
三、解答题
16．2026年3月22日是第三十四届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，如图1．小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次量杯中的水量，如下表所示．
时间 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量 0 15 30 45 60 75
(1)请根据上表的信息，在图2所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)求出关于的函数解析式；
(3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下12小时的漏水量．
17．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数．
(1)求m的值；
(2)画出该一次函数的图象；
(3)当时，根据函数图象，求x的取值范围，
18．一次函数（）的图象经过点和．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)该一次函数的图象与轴交点的横坐标为，若代数式的值为零，且，试求的值．
19．如图，一次函数的图像经过点和，且与轴、轴分别相交于点、点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点为轴上一点，且，请直接写出直线的函数表达式．
20．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点A，B以及直线，其中，给出如下定义：以为边构造菱形，若该菱形的一条对角线垂直于直线l，则称该菱形为线段的“关联菱形”．
(1)已知点，，，若菱形是线段的“关联菱形”，则________°，该菱形的面积是________；
(2)已知点，直线分别与两坐标轴交于E，F两点，点Q是线段上任意一点．
①当时，若线段的“关联菱形”有一个内角是，求点Q的坐标；
②对于每一个点Q，设线段的“关联菱形”的最大面积为，请你直接写出的最大值和最小值，以及相应的k的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C A D D D D A
1．A
【分析】正比例函数中，的符号与图像经过象限的关系：，的图像经过第一、三象限；，的图像经过第二、四象限．
【详解】解：∵正比例函数中，，
∴的图像经过第一、三象限．
2．C
【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断．
【详解】解：函数是正比例函数，
其图象是一条经过原点的直线，故排除D，
，
图象经过第一、三象限，故排除A，
又当时，，
图象必经过点，
观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点，
C选项符合题意．
3．A
【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，进而得到时，，进行判断即可．
【详解】解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，
∴当时，，
故算错的函数值为3．
故选：A．
4．C
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案．
【详解】解：如图，作直线，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，．
5．A
【分析】由正比例函数的性质可得，从而得出，进而得出一次函数的图象在第一、二、四象限，即可得出结果．
【详解】解：∵正比例函数中y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图：
6．D
【分析】根据正比例函数的性质即可判断各选项正误．
【详解】解：对于正比例函数，，逐一分析选项：
A．当时，，
图象经过点，不经过，
选项A错误；
B．，
正比例函数图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，
选项B错误；
C．当时，，当时，，
不是对任意都有，
选项C错误；
D．，随的增大而减小，
选项D正确．
故选：D．
7．D
【分析】结合菱形邻角互补的性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论．
【详解】解：∵菱形对边平行，
∴菱形相邻内角满足，
对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为，
，A正确；
对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确；
对选项C：当时，，即，结合，得，
此时菱形是正方形，C正确；
对选项D：∵菱形的内角满足，，
，
可得，
∴的最大值为，
因此的取值范围是，不包含，D错误．
8．D
【分析】根据已知点的横坐标和对应纵坐标的大小关系，判断一次函数的增减性，得到k的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵点，满足，且，
∴在一次函数中，随的增大而增大，
∴，
∴，
选项中只有符合条件，故选项D符合题意．
9．D
【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则．
的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则．
对于A，，，，选项A正确，不符合题意；
对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即，
，选项B正确，不符合题意；
对于C，已知两条直线的交点横坐标是，
当时，，即，
，
，选项C正确，不符合题意；
对于D，，
随的增大而减小，
若，则，此时，，则，
若，则，此时，，则，
，选项D错误，符合题意．
10．A
【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误．
结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误．
结论③：代入和求解即可判断③错误．
结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可．
【详解】①当时，
当时，得
解得得或，结论错误；
②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误；
③将和代入，
得，，
∴，结论错误；
④若对于，，都有，
则，
，
整理得：，
，，
，，
，
，即，
满足条件的最大整数值为0．故④错误．
综上，正确结论的个数是0．
故选A．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
11．
【分析】一次函数图象平移后不变，可设平移后的解析式，代入已知点求出待定系数，即可得到平移后图象的解析式．
【详解】解：新直线是由一次函数的图象平移得到的，
新直线的，
可设新直线的解析式为：，
平移之后的图象经过点，
，
，
平移后图象函数的解析式为．
12．
【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解．
【详解】解：对于，
令，得，
，
如图，根据题意作出点，连接，
∵
将代入得，
解得
∴
∴
根据题意得，四边形，，都是平行四边形，
∴
∴，即
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴点与点重合，
∴动点每运动次为一个循环，
，
∴点与点重合，即点的坐标为．
13．
【分析】根据待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的增减性，以及自变量的大小关系比较函数值的大小．
【详解】解：设该一次函数解析式为，将和代入解析式，
得，
解得，
该一次函数解析式为，
，
随的增大而增大，
又 ，
，
故答案为：．
14．
【分析】根据两点坐标中点公式，求出线段中点，并求出该中点和所在的直线解析式，依据题意即可设，利用翻折的性质推出，结合点到点的线段距离公式，设参数，代入公式即可求出的值，从而求出的横坐标．
【详解】解：，，四边形是矩形，
，的中点坐标为
设过点和中点的直线解析式为，则，解得，
过点和中点的直线解析式为．
落在边的中线所在的直线上，
设，
由翻折的性质可知，，，
，
，
或（对应原点，舍去），
，
．
由翻折的性质可知，，，设，
，
，
，
，
，
的横坐标为4．
15．
【分析】点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点，此时，周长最小，为线段的长度，根据直线解析式求出交点坐标，得出相关线段的长度，根据轴对称的性质得出相等的边和角，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：如图所示，作点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，连接，，连接交直线于点，交轴于点，
此时，，周长最小，为线段的长度，
当时，，
∴；
当时，，
解得，
∴；
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
根据轴对称的性质可得，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
根据轴对称的性质可得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴周长的最小值是．
16．(1)如图：
(2)
(3)这种漏水状态下12小时的漏水量为，
【分析】（1）按照描点、连线的步骤画图即可；
（2）根据图像得，是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解即可；
（3）把代入（2）所得的解析式求解即可．
【详解】（1）略．
（2）解：根据图像得，是关于的正比例函数，
设关于的函数解析式为，
把代入，得：，解得，
关于的函数解析式为
（3）解：当，，
答：这种漏水状态下12小时的漏水量为．
17．(1)
(2)一次函数图象，如图所示：
(3)
【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解；
（2）根据一次函数解析式，描点和连线即可；
（3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限，
，解得，
m为正整数，
；
（2）解：由（1）得一次函数，
令，则；令，则，
一次函数过点和，
在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可．
（3）解：一次函数，
由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当时，x的取值范围为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解一次函数解析式.将两个已知点坐标代入解析式，得到关于和的方程组，解方程组得到系数即可得到解析式；
（2）先求出的值，再代入已知代数式得到的关系式，利用变形得到的值，再通过完全平方公式和整式乘法变形，逐步计算得到最终结果；
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得：，，
因此该一次函数的解析式为；
（2）解：令，则，解得，即，
由题意得，
代入得，
，等式两边同时除以得，整理得，
将等式两边平方得，展开得，即，
对两边立方得，展开得，整理得，
代入得，
解得．
19．(1)
(2)4
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
当时，，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∴点C的横坐标为或，
∴点C的坐标为或，
当点C的坐标为时，设直线的函数表达式为，
则，
∴，
∴直线的函数表达式为；
同理可得当点C的坐标为时，直线的函数表达式为；
综上所述，直线的函数表达式为或．
20．(1)或，
(2)①；②当最大值为37时，，当最小值为时，
【分析】（1）由可得l与x轴的夹角为，由菱形的对角线互相垂直可知当时，当时，分两种情况讨论，结合菱形的性质和直角三角形的性质求解即可；
（2）①设线段的“关联菱形”为，设与的交点为．
情况一：当时，，先求出，进而可得，设，若，则，根据，可求得q的值；若，则，根据可求得q的值；结合q满足的条件，可求得满足题意的Q点的坐标．情况二：当时，，可得Q点的坐标与情况一中所得结果相同；
②利用菱形的面积公式结合完全平方式的变形可得出的最值随线段的变化而变化，此时可得出的最大值和最小值，此时以线段为边长的菱形为正方形，结合图形并分情况讨论，得出的最大值和最小值，利用等腰直角三角形的性质和一线三垂直模型，并通过待定系数法即可求出每种情况下的k值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
如图，过点B作交于点G，过点G作轴交于点H，
∵直线，
设，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
∴在中，，
∴，
设与的交点为，
∵四边形是菱形，
∴，
情况一：如图，当时，，
∴，
则，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
情况二：如图，当时，，
则，
∴，
此时，菱形的面积仍为．
综上所述，或，菱形的面积为．
（2）解：①设线段的“关联菱形”为，
如图，过点P作,延长交x轴于点L，过点P作轴交点R，
∵分别交x，y轴于点F，E，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
情况一：当时，，
由直线的解析式可知，的表达式为，
联立，解得，
∴，
∴，
由得，，
设，
如图，若，则，
则，
∴，
解得（舍去），（舍去）；
如图，若，则，
则，
∴，
解得（舍去），（满足题意），
∴，，
∴．
情况二：当时，，
如图，当时，，
如图，当时，此时Q点不在线段上，
综上所述，Q点的坐标为．
②设菱形的两条对角线长度分别为，，
∴，
对于线段的“关联菱形”，一条对角线垂直于直线，另一条对角线平行于l，
∵菱形的对角线互相垂直平分，且边长为，
∴由勾股定理得：，
整理得：，
∵，展开得：，
∴，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为，
∵点P为定点，点Q为线段上的动点，
∴的长度随点Q的运动而变化，
∴存在最大值和最小值，则也随的变化而变化，
∴以线段为边长的菱形为正方形，
如图，由垂线段最短可知，当时，存在最小值，
由①可知，，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，即轴，
∴，则；
由图象可知，当点与点F重合时，有最大值，
∴，
∴，
过点F作y轴的平行线，过点P作于点I，过点作于点J，
易证得：，
∴，，
∴，，即，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，当最大值为37时，，当最小值为时，．
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