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24.2 数据的离散程度 暑期专项练习2025-2026学年人教版
八年级数学下册
一、单选题
1．引体向上测试中，某组学生完成的个数分别是，，，，，根据组内离差平方和最小原则，若要将学生测试成绩分成两组，应该分为（ ）两组．（参考数据：和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为）．
A．和 B．和
C．和 D．和
2．某校九（1）班与两年前相比学生没有变动，则该班学生年龄的平均数和方差，与两年前相比分别（ ）
A．不变，改变 B．增大两岁，不变
C．增大两岁，改变 D．不变，不变
3．技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．16
4．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示：
序号 分组情况 组内离差平方和
1 第一组1人，第二组4人
2 第一组2人，第二组3人
3 第一组3人，第二组2人
4 第一组4人，第二组1人
则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（ ）
A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大
C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小
6．某校运动队有5名同学准备参加跳高比赛，为了让队员能更有效地进行赛前训练，教练计划将5名同学按他们跳高成绩的高低分为2组，分组计算离差平方和（如下表），你认为比较合理的分组是（ ）
组序 第1组 第2组 组内离差平方和
1 1.58 1.63，1.65，1.75，1.78 0.016275
2 1.58，1.63 1.65，1.75，1.78 0.010517
3 1.58，1.63，1.65 1.75，1.78 0.00305
4 1.58，1.63，1.65，1.75 1.78 0.015275
A．组序为1的分组 B．组序为2的分组
C．组序为3的分组 D．组序为4的分组
7．甲、乙、丙、丁四位同学参加学校的中华古诗词知识竞赛，四人竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一人参加县级的比赛，应选（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 95 95 95 95
方差 3 4.3 4 4.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．舟山素有海上花园城市的美誉，城区绿化带景观需园林工人定期修剪养护．如图，园林工人把参差不齐的绿植修剪平整，修剪前后植株高度的平均数与方差均发生改变．下列关于平均数与方差的变化情况描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
9．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A． B．平均数为8
C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变
10．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0
第2个间隔 2
第3个间隔 2
第4个间隔 0
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题
11．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差甲________方差乙（填“>”“<”或“=”）．
12．巨野县是中国工笔牡丹画之乡，甲、乙两位画师统计了连续天的牡丹画成交数量，两人日均成交数量相同．甲画师天成交数量：，乙画师成交数量的方差为，则天成交情况更稳定的是______．（填“甲”或“乙”）
13．按照“组内离差平方和达到最小”的原则，将数据分成了两组和，则这组数据的组内离差平方和是________．
14．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表：
通信公司 甲 乙 丙
平均网络速率
网络速率方差
已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”）
15．现有一组数据：12，15，18，20，25，30，30，35．若将其分为2组和，则该组数据的组内离差平方和是__________．
三、解答题
16．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7 2
(1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
17．某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，现对他们进行了次测试，已知甲次测试的平均成绩是环，甲测试成绩的方差为，乙次的测试成绩（单位：环）统计如下：如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由．
18．某校对九（1）班学生进行百米测验，已知女生达标成绩为秒，下面两图分别是甲、乙两小组各名女生的成绩统计图．请你根据下面统计图回答问题．

(1)甲、乙两组的达标率分别是多少？
(2)请你计算方差，比较哪个组的成绩相对稳定；
(3)从各组的平均数、中位数、达标率、方差等效据来分析，老师会表扬甲组和乙组哪个组成绩好一点？
19．红旗村种植户王大叔，想了解甲、乙两种黄瓜的挂果情况，现从种植田中随机各抽取5株黄瓜，挂果记录数据如下（单位：个）：
甲：7，8，5，7，8； 乙：8，7，6，8，6．
(1)分别求这两组数据的平均值；
(2)分别计算两组数据的方差，并估计哪种黄瓜挂果均匀长势更好．
20．甲、乙两位同学次数学竞赛测试成绩（百分制）统计如下表，他们的次总成绩相同，请同学们完成下列问题．
甲、乙两人的数学成绩统计表
第次 第次 第次 第次 第次
甲成绩
乙成绩
(1)______，甲同学成绩的中位数为______，乙同学成绩的极差为______；
(2)甲成绩的方差是，乙成绩的方差是______，若从两人中选出一人参加比赛，从平均数和方差的角度分析，______将被选中参加比赛．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B A C A A D B
1．B
【分析】题目已给出所有可能分组的组内离差平方和，只需比较大小，选出组内离差平方和最小的分组即可．
【详解】解：比较大小得 ，
∴B选项分组的离差平方和最小，符合要求．
2．B
【分析】根据平均数和方差的定义计算变化即可得出结论．
【详解】设该班有名学生，两年前学生年龄分别为，，，，两年前年龄平均数为，方差为，
则，，
现在每名学生年龄都增加岁，则学生年龄分别为，，，，
，
，
平均数增大两岁，方差不变．
3．A
【分析】方差越小，数据波动越小，植株长得越整齐，根据题意确定a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵乙地小麦比甲地小麦长得整齐，
∴，
∵，，
∴，
四个选项中只有11满足．
4．B
【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可．
【详解】解：∵ ，
∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组．
5．A
【详解】解：在统计学中，使“组内离差平方和最小，组间离差平方和最大”是常用的分组原则，
所以选项A正确．
6．C
【分析】合理分组要求同一组内数据差异尽可能小，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较各组离差平方和的大小即可得到结论．
【详解】解：由表格可知，各组组内离差平方和的大小关系为 ，
则组序为3的分组离差平方和最小，分组最合理．
7．A
【分析】当四位同学平均成绩相同时，选择发挥更稳定的同学参赛，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，比较方差大小即可得出结论．
【详解】解：四位同学的平均成绩均为，平均成绩相同，又因为方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，且，甲的方差最小，故甲的成绩最稳定，应选甲．
8．A
【分析】利用平均数和方差的定义进行求解即可．
【详解】解：平均数变化：修剪平整时，会剪掉较高植株高出的部分，整体植株的总高度降低，
因此平均数变小，
方差变化：方差衡量数据的波动（离散程度），修剪后植株高度变得更整齐，高度的波动变小，因此方差变小，
综上，平均数变小，方差变小．
9．D
【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论．
【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断：
∵方差算式中共有5个平方项，
∴，A选项正确，不符合题意；
∵所有平方项中减去的数都是8，
∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意；
∵原数据中6出现次数最多，
∴众数是6，C选项正确，不符合题意；
添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8，
新方差为： ，
原方差，可得，
∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意．
10．B
【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义．
根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可．
【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔，
A. 的平均数为7，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
B. 的平均数为，离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
C. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数为，
离差平方和为，
组内离差平方和为；
D. 的平均数为，
离差平方和为，
的平均数是15，离差平方和为，
组内离差平方和为；
根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意，
故选：B．
11．>
【详解】由题意可得，甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中，
数据越分散，方差越大，
方差甲方差乙．
12．乙
【分析】已知甲乙日均成交数量相同，即平均数相同，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，只需计算出甲的方差，与乙的方差比较即可得到结果；
【详解】解：由题意得，甲天成交数量的平均数，
∴，
∵乙的方差为，，
∴，
∴天成交情况更稳定的是乙．
13．
【分析】先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到结果．
【详解】解：对于第一组数据，其平均数为，
第一组的组内离差平方和为，
对于第二组数据，其平均数为 ，
第二组的组内离差平方和为，
因此总的组内离差平方和为．
14．丙
【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可．
【详解】解：根据表格数据，
∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙，
但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好，
∴应选择的通信公司是丙.
15．148
【分析】本题考查了方差，理解平均数与离差平方和的意义是解决问题的关键．
分别计算两组数据的均值和离差平方和，再求和．
【详解】解：第一组数据的平均数为，
离差平方和为
；
第二组数据的平均数为，
离差平方和为
；
组内离差平方和为．
故答案为：．
16．(1)6，7，7
(2)
小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴小明在小组中属中游略偏上．
(3)
选乙组参加决赛．理由如下：
∵甲、乙两组学生平均数相同，
而，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策．
（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
∴，
∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，
∴众数．
故答案为：6，7，7
（2）略
（3）略
17．选甲参加集训更合适，理由见解析
【分析】本题考查了方差的计算方法，关键是熟练应用计算公式进行计算；
根据公式计算即可，方差越小成绩越稳定．
【详解】解：选甲参加集训更合适．
理由：乙的平均成绩（环）
乙成绩的方差．
因为，两人的平均数相同，
所以甲比乙更稳定，
所以选甲参加集训更合适．
18．(1)甲组的达标率是，乙组的达标率是
(2)甲组的方差是，乙组的方差是，乙组的成绩相对稳定
(3)如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，可以从中位数来说明；如果老师表扬乙组的成绩好于甲组，可以从方差来说明；理由见解析
【分析】（1）用甲组和乙组达标的人数除以即可得出答案；
（2）先求出各组的平均数，再代入方差公式进行计算，然后比较即可得出答案；
（3）分别从平均数、中位数、达标率、方差进行分析，即可得出答案．
【详解】（1）解：甲组的达标率是：，
乙组的达标率是：，
∴甲组的达标率是，乙组的达标率是；
（2）∵甲组的平均数是：（秒），
乙组的平均数是：（秒），
∴甲组的方差是：，
乙组的方差是：，
∵，
∴乙组的成绩相对稳定；
（3）甲组和乙组的平均数相同、达标率相同，甲组的方差大于乙组的方差，说明乙组的成绩稳定，甲组的中位数是秒，乙组的中位数是秒，由于用时越少成绩越好，说明甲组的成绩较好，
∴如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，可以从中位数来说明；如果老师表扬乙组的成绩好于甲组，可以从方差来说明．
【点睛】本题考查平均数、中位数和方差的计算及意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
19．(1)，
(2)乙种黄瓜挂果均匀长势更好
【详解】（1），．
，
，
∵，，∴乙种黄瓜挂果均匀长势更好．
20．(1)；；
(2) ； 乙
【分析】本题考查了数据的分析及整理，关键是熟练应用各特征数的求法；
（1）根据平均数、中位数及极差的定义即可求出结果；
（2）根据方差的计算公式求解即可．
【详解】解：（1）；
∵甲的数学成绩从小到大排列为：
∴甲的中位数为：．
乙的极差为：
（2）乙：，
∵，他们的次总成绩相同（甲乙的平均数相同），甲的方差大于乙的方差
∴选乙参加比赛
故答案为：，乙．
答案第1页，共2页
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