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第二讲 - 等腰. 等边三角形的提高训练
【等腰三角形中的分类讨论】
1. 等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为________
2. 已知等腰一腰上的高与另一腰的夹角为，则的三个内角的度数为__________
3. 在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为，则底角=___________
4. 若实数x,y满足，则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长是_________
【等腰三角形中的规律性问题】
1. 如 图 ， 在 中 ，， AB=A1B ， 在 A1B 上 取 一 点 C ， 延 长 AA1到 A2 ， 使 得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An(以An为顶点的锐角)的度数为____________
2. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为______．
【存在性问题】
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°,以 C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有_______个
2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(0,2)，B(0,6)，动点C在直线y=x上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是__________
3. 如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
【等腰三角形的性质和判定的综合应用】
1．如图在△ABC中，BF. CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB. AC于点D. E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE； ③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D. E. F分别在边AB. BC. AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
(4)请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
(3)如果BC=10，求AB+AE的长．
【等边三角形的性质和判定】
1．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．
2．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD. DE. EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
3．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M. N分别从点A. 点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M. N同时停止运动．
(1)点M. N运动几秒后，M. N两点重合？
(2)点M. N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M. N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M. N运动的时间．
【几何图形中的最短路径问题】
1.如图，，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上一动点，,垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为____________
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为_______
已知点在内．
(1)如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接. . .
①若，则______；
②若，连接，请说明当为多少度时，；
(2)如图2，若，. 分别是射线. 上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
如图，等边(三边相等，三个内角都是的三角形)的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求为何值时，；
(3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．

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