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第三讲 - 整式计算与因式分解提高
【多项式乘多项式】
【例1】已知，则的值是_________.
【例2】若，则 ．
【例3】已知，则与的大小关系是 ．
【高级】求展开式中的系数.
【整式乘法中的不含某一项】
【例1】关于x的代数式的展开式中不含x项，则 ．
【例2】若的乘积中不含x的一次项，则＝ ．
【多项式乘法与求值问题】
【例1】已知，，则 ．
【例2】已知，则的值为 ．
【例3】已知，则代数式的值为_________
【多项式乘多项式与几何问题】
【例1】如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 ．
【例2】现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形．如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠地放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外. 若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 ．
【平方差公式】
【例1】若，，则的值为 ．
【例2】若，则 ．
【已知完全平方公式求字母的值】
【例1】若多项式是一个完全平方式，则m的值为_________.
【例2】若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值可以为_________
【利用乘法公式进行求值】
【例1】已知，则代数式的值为 ．
【例2】如果，那么代数式的值为 ．
【整式乘法的混合运算】
【例1】计算：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【幂的乘法】
【例1】设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。
【例2】已知3×9m×27 m＝321，求m的值。
【整式乘法的化简求值问题】
【例1】先化简，再求值：，其中，．
【例2】先化简，再求值：，其中．
【整式乘法与最值的探究问题】
【例1】先阅读下面的例题，再按要求解答问题：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴，
∴的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)代数式的最小值为______；
(2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由．
(3)已知有理数x，y满足，求的最小值．
【拓展提高】
（4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？
请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．

【例2】阅读以下内容：
，
，
，
根据这一规律，计算： ．
【例3】已知一个长方形的面积为16，分别以它的宽和长(宽和长不相等)为边向外画正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的取值范围是___________．
【完全平方式求值】
【例1】 已知x2－3x＋1＝0，求下列各式的值，
①； ②.
【例2】已知，求的值.
【因式分解-学校常考】
（1） （2）
（2） （3）
（4） （5）
【因式分解-短十字相乘】
(1)； (2)； (3)；
【【因式分解-长十字相乘（不考）】
(1) (2)
【因式分解思维锻炼（尽力而为）】
1.求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．
2.已知是二元二次式的一个因式，求a、b的值.
3.若，则
4.已知：a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值.
5.已知则
6.计算的值.
7.说明对于任意自然数，都能被动24整除.
8.已知S＝12－22+32－42+52－62+…+992－1002+1012，求S被103整除的余数.
9.已知a、b、c为△ABC的三边，且a2+bc－ac－b2＝0.试判断△ABC的形状.
【课后巩固】
1.用十字相乘法分解因式：
（1） （2）
2.如果多项式能分解成两个一次因式的乘积（为整数），则的值应为多少？
3.分解因式：
4. 已知是的一个因式，那么的值是__________________.
5. 已知多项式可以分解为的形式，那么的值是___________.
6. 为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？
7. 若将分解为两个一次因式的积，试求出的值.

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