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初二上学期重难点总结
【题型1 探究三角形的边与面积的关系】
如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．
(1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分；
(2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ；
(3)当为多少秒时，的面积为．
2. 已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
【题型2 探究角度之间的关系】
在中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，令，，．
(1)若点 P 在线段上，如图①且，则
(2)若点P 在边上运动，如图①，则，，之间有何关系 并说明理由．
(3)若点P 运动到边的延长线上，如图②，则，，之间有何关系 猜想 并说明理由．
(4)若点P 运动到外，如图③，则，，之间的关系为 ．
如图①，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，求的度数；
(2)求证：平分．
(3)在(1)的条件下，若，将绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边转至线段上时停止转动，记旋转角为，请求出当为多少度时，与某一边平行？
(4)在(3)的条件下，直接写出与之间的关系．
【题型3 由三角形全等分类讨论求参数的值】
如图，的两条高与交于点，，．
(1)求的长；
(2)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．
如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
(1)求证：；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【题型4 利用全等三角形解决阅读理解类问题】
1.(1)阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　；
(2)问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【题型5 由轴对称求线段的最小值】
如图，等边(三边相等，三个内角都是的三角形)的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
(2)连接，求为何值时，；
(3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】
阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0，∴(m﹣n)2=0，(n﹣4)2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
(2)已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，，直接写出的值为___________；
(2)类比应用：填空：
①若，则___________；
②若，则___________；
(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地(即长方形)上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．

【题型7 利用因式分解解决数字问题】
一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为，十位上和个位上的数字之和为，如果，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是　　，最大的“和平数”是　 　；
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b(用含x的式子表示)并计算的最小值．
【题型8 利用分式化简求值】
已知，且，求的值．
已知，，．
(1)当，，时，求的值；
(2)当时,求的值．
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】
(1)已知关于x的分式方程．
①当时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
(2)关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
m为何值时，关于x的方程会产生增根？
【题型10 等腰三角形中的证明与计算】
1.如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．
2.如图，是边长为6的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为()．
(1)当点在线段上运动时，的长为_____()，的长为______()(用含的式子表示)．
(2)当与的一条边垂直时，求的值．
(3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
【题型12 数式或图形的规律探究】
1.阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．
例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得
，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)将分式表示成部分分式；
(2)按照(1)的规律，求的值．
2.仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题：
(1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式；
(2)类比发现：
计算与的结果；
(3)规律应用：化简．
【课后巩固，每天1-2题(安排30分钟做就好，不要勉强)】
1.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
2.已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
3.如图，已知等腰直角中，，以为边在点的另一侧作等边，点分别在线段上，，且与相交于点，延长交于．
(1)求∠ECH的度数；
(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)若点是边上的动点，，求周长的最小值，结果用含的整式表示．
4.材料一：一个正整数x能写成(a，b均为正整数，且)，则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，．
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
(1)请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
(2)试说明10不是雪松数；
(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t．
已知实数、、满足，求的值.
数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．
教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：．
(1)请写出证明过程；
继续研究：
(2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分；
(3)在()的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明．
某校八年级(1)班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
(1)如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形：__________；
【理解与运用】
(2)如图2，是的中线，若，，设，求的取值范围；
(3)如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．

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