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BY YUSHEN
第一章　工程力学
　机械基础
【思维结构图引】
【考纲多维解读】
考纲要求 命题趋势 考向分析
一、杆件的静力分析
1.力的基本性质
2.杆件的受力分析、绘制杆件受力图
3.力矩、力偶
4.平面汇交力系与平面平行力系的平衡方程及其应用
二、杆件的基本变形
1.拉伸与压缩的力学性能和直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算
2.剪切与挤压 3.圆轴扭转
4.直梁弯曲 5.组合变形 1.考查学生对力的基本性质、力矩与力偶概念的识记，熟知物体的受力分析及应用，掌握平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系平衡方程及其应用等
2.要求学生熟知直杆的四种基本变形形式及其基本概念，掌握拉伸与压缩条件下内力的计算方法，了解组合变形概念和影响杆件变形的其他因素 【考查内容】
力矩和力偶、杆件的静力分析与计算、直杆的基本变形
【考查题型】
一般为填空题、单项选择题、多项选择题和简答与计算题
【分值】
一般为4～14分
【考点知识梳理】
一、力的基本性质（理解）
1.力的概念
力是使物体间的运动状态发生变化或使物体发生变形的物体间的相互机 械作用。
力的三个要素：力的大小、方向和作用点。
力是一个既有大小又有方向的矢量。如图 1-1-1所示，力矢量在图上用带箭 头的有向线段 AB表示，箭头的指向表示力的方向，线段的起点或终点表示力的 作用点，力的大小用有向线段 AB的长度表示。力矢量常用 F表示，在国际单位 制中，力的单位为 N（牛）或 kN（千牛）。
图 1-1-1
2.静力学的基本公理
（1）二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是两力大小
相等、方向相反且作用在同一直线上，如图 1-1-2所示。
图 1-1-2
只受两个力作用而处于平衡状态的物体称为二力构件。当构件呈杆状时，称 为二力杆。
（2）加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用 效应。
推论 1 （力的可传递原理）
作用于刚体上某一点的力可沿其作用线移至刚体上的任一点，而不会改变原 力系对刚体的作用效应。
（3）力的平行四边形定则
作用于物体上同点的两个力可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点， 合力的大小和方向由以这两个力为边构成的平行四边形的对角线来表示（图 1- 1-3），即F＝F1＋F2。
图 1-1-3
推论2（三力平衡汇交定理）
当刚体受三个力作用而处于平衡状态时，若其中两个力的作用线汇交于一 点，则第三个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用线在同一平面内。如图 1-1-4所示，F1、F2汇交于A点，则 F3通过A点。
图 1-1-4
（a）力的平行四边形定则 （b）力的三角形
图 1-1-5
为了简化力的平行四边形，常采用力的三角形来合成两个力（或者其 他任何矢量），即将一个力平行移动，把它的起点移动到另一个力的终点上，从 未移动力的起点指向所移动力的终点的力即为合力，如图1-1-5所示。
（4）作用与反作用定律
作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直 线分别作用在两个相互作用的物体上。如图1-1-6所示，吊钩提升一重物W，重 物对吊钩的作用力为 F，吊钩通过拉索对重物产生一个反作用力F'，这两个力即 为作用力与反作用力， F＝-F'。
图 1-1-6
不能把作用力与反作用力看作一对平衡力，因为作用力与反作用力分 别作用在两个物体上，而二力平衡条件中的两个力是作用在同一物体上的。
3.约束与约束力
（1）约束与约束力的基本概念
对非自由体的某些位移起限制作用的物体称为约束。
约束是限制物体的运动，且这种限制是通过力的作用来实现的。因此，约束 对物体的作用实际上就是力，这种力称为约束力，也称约束反力。约束力的大小 和方向不能预先确定，只能通过分析计算才能得出。
确定约束力有如下原则：
（1）约束力的作用点就是约束与被约束物体的接触点或连接点。
（2）约束力的方向与该约束所阻碍的运动趋势方向相反。
（3）约束力的大小可采用平衡条件计算确定。
（2）常见约束类型
①柔性约束
由绳索、链条或带等柔性物体构成的约束称为柔性约束。如图1-1-7（a）所 示的绳索只受拉力，它给物体的约束力也只能是拉力。因此，绳索对物体的约束 力作用在接触点，方向沿绳索背离物体。传动带对物体的约束力如图1-1-7（b） 所示，约束力为拉力，沿轮缘的切线方向。
（a） （b）
图 1-1-7
②光滑面约束
两物体直接接触，当接触表面非常光滑，摩擦可忽略不计时，即属于光滑面 约束。这类约束不能限制物体沿接触表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面 法线方向的位移。因此，光滑面约束的约束力必通过接触点，方向沿接触表面在 该点的公法线并指向受力物体。如图1-1-8中所示的FNA、FNB为约束反力。
图 1-1-8
③铰链约束
由铰链构成的约束称为铰链约束，如图1-1-9（a）所示。如果铰链约束中两 个构件有一个固定在地面或机架上，则这种约束称为固定铰链约束，如图1-1-9 （c）所示。铰链约束两构件与地面或机架的连接是可动的，则这种约束称为活 动铰链约束，如图 1-1-9（b）所示 。固定铰支的约束反力方向不能预先确定， 通常用两个互相垂直的分力来代替，如图1-1-9（c）表示为Fx、Fy；活动铰支的 约束性质与光滑接触表面的约束性质相同，其反力必垂直于固定面，如图1-1-9 （b）表示为Fy。上述两种约束均不能限制两物体绕铰链中心的相对转动。
图 1-1-9
④固定端约束
一个杆件的一端完全固定，既不能移动也不能转动，这种约束称为固定端约 束，其约束力包括两个正交的力FAx、FAy和一个约束力偶M。
二、杆件的受力分析、绘制杆件受力图（掌握）
为了清晰地表示物体受力情况，常需把研究的物体从周围物体中分离出来， 然后把其他物体对研究对象的全部作用力用简图形式画出来。这种表示物体受力 的简明图形称为受力图。
画受力图的步骤：
（1）确定研究对象，单独画出其简图。
（2）分析研究对象受到的主动力和约束力。
（3）画出受力图，画约束力时应取消约束，用约束力代替它的作用。
（1）有二力构件时，先分析二力构件的受力情况，再画出其他物体的 受力。
（2）未提及摩擦时，接触面视作光滑；未提及重力时，就不计重力。
（3）一对作用力及反作用力应采用同一字母，其中一个添加“'”以示 区别。
三、力矩、力偶（理解）
1.力矩
力矩是力对一点的矩，等于从该点到力作用线的垂直距离与该力的矢量积， 记作 MO（F）＝±F·d。在国际单位制中，力矩的单位为N·m或kN·m。力使物体 转动的效果，如图 1-1-10所示，扳手使螺母的转动效果，由两个因素决定：
①力的大小与力臂的乘积。
②力使物体绕 O点的转动方向。
F：扳手上作用的力　d：F到矩心O的垂直距离
图 1-1-10
这两个因素可用一代数式来表示：±F·d。
一般规定：使刚体绕矩心逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。
F：扳手上作用的力　d：F到矩心O的垂直距离
图 1-1-10
（2）当力沿其作用线移动时，力对点之矩不变。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面任一点的矩等于力系中所有分力对 该点力矩的代数和，即MO（FR）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fn）
（1）力矩在下列两种情况下为零：①力等于零；②力的作用线通过矩 心，即力臂等于零。
2.力偶和力偶矩
（1）力偶
由两个大小相等、方向相反不共线的平行力组成的二力，称为力偶，记作 （F，F'）。
力偶的两力之间的垂直距离d称为力偶臂。力偶无合力，力偶不能与力等 效，也不能用一个力来平衡，或用一个力来等效替换。力偶可使物体转动或改变 物体的转动状态。
（2）力偶矩
力偶对物体的作用效应可用力偶矩（力的大小与力偶臂的乘积）来表示，记 作M或MO（F，F'），即MO（F，F'）＝±F·d，单位为N·m或kN·m，力偶矩是 两个大小相等、方向相反，且不在同一直线上的力所产生的力矩之和，如图1-1- 11所示，即
　　　　　　　　　　　　MO（F，F'）＝MO（F）＋MO（F'）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝-F（d＋a）＋F'·a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝-F·d
图 1-1-11
力偶矩的方向：逆时针转向为正，顺时针转向为负。
力偶矩常用图1-1-12所示的符号表示。
图 1-1-12
（3）力偶的性质
平面力偶对物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和力偶的转向，而与矩 心无关。
同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两 力偶彼此等效。
性质 1：力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。
性质 2：只要保持力偶矩大小和力偶的转动方向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
①力偶在任一轴上的投影均为零。
②力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
③力偶对刚体的转动效应完全取决于三个要素：力偶矩的大小、转向和作用 面的方位，称之为力偶的三要素。
3.力的平移（平面力系简化的依据）
（1）力的平移定理
作用于刚体上的力可以平移到刚体上任意一点，但同时必须附加一个力偶， 这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。
（2）力的平移定理推导
图1-1-13（a）中力作用于刚体上的A点。在刚体上任取一点 B，d为点B至力 F作用线的垂直距离，在点B加上两个等值反向的力F'和F″，并使F＝F'＝-F″， 如图1-1-13（b）所示，显然三个力 F、F'、F″组成的新力系与原力等效。此时 可将F'看作是力F平移到点B后的力，而F、F″构成一力偶。该力偶就是所需的 附加力偶，附加力偶的矩为原来的力对新作用点的矩，如图 1-1-13（c）所示。
图 1-1-13
四、平面汇交力系与平面平行力系的平衡方程及其应用（综合运用）
1.力系
作用在同一物体上的若干个力就是一个力系；若这些力都作用在同一平面 内，就称之为平面力系。
（1）平面汇交力系
在平面汇交力系中，各力的作用线都汇交于一点，如图 1-1-14所示。
图 1-1-14
（2）平面任意力系
在平面任意力系中，各力的作用线既不汇交于一点，也不全部平行，如图 1-1-15所示。
图 1-1-15
（3）平面力偶系
作用在物体同一平面内的多个力偶称为平面力偶系，如图1-1-16所示，W与 Foy组成力偶；Fox与F组成力偶。
图 1-1-16
（4）平面平行力系
在平面平行力系中，各力的作用线都彼此平行，例如起重机、桥梁等结构上 所受的力系，常常可以简化为平面平行力系，如图 1-1-17所示。
图 1-1-17
2.平面力系的平衡方程及应用
（1）平面汇交力系合成的几何法
运用力的平行四边形定则，平面汇交力系的合力等于各力的矢量和，合力的 作用线通过各力的汇交点。平面汇交力系平衡的充分和必要几何条件是该力系的 力多边形是自行封闭的。
（2）平面汇交力系合成的解析法
平面受力时的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础建立起来的，即利用力 在直角坐标轴上的投影表示力在直角坐标上分力的大小和方向。已知力 F作用于 构件的点A，如图 1-1-18所示，在力F作用线所在平面建立直角坐标系Oxy，从 力F的始点A和末端点B分别向x轴、y轴作垂足a、b和a'、b'。
通常F在x轴上的投影用Fx表示，在y轴上的投影用Fy表示。Fx、Fy是力F沿x 轴、y轴分解所得到的两正交分力，其正负号规定为：若投影的指向与坐标轴正 方向一致为正，反之为负。
图 1-1-18

（3）平面汇交力系的平衡方程
用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：
①确定研究对象，单独画出其简图。
②进行受力分析，画出研究对象的全部已知力和未知力，并设定未知力 的方向。
③选取合适的坐标系，计算各力的投影。
④列平衡方程解出未知量。
（4）平面任意力系的平衡方程
若使刚体处于平衡，则必须满足作用于刚体上的合力矢 FR＝0，合力偶矩 M＝0。
（5）知识拓展
①平面平行力系的平衡方程
②平面力偶系的平衡方程
平面力偶系平衡的条件是力偶系中各力偶矩的代数和为零，即ΣMi＝0。
构件是机械运动的基本单元。为保证构件在载荷作用下能安全可靠地工作， 要求构件应具有足够的承载能力，即具有足够的强度、刚度和稳定性，这是保证 构件安全工作的三项基本要求。
强度是指构件抵抗破坏的能力；刚度是指构件抵抗弹性变形的能力；稳定性 是指杆件维持原有平衡形式的能力。
一、拉伸与压缩的力学性能和直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算（综合运用）
在工程实际中，把长度远大于横截面尺寸的构件叫杆件。杆件在外载荷的作 用下可能会发生尺寸和形状的变化，称为变形。分析变形规律时，可以把杆件变 形简化为下列四种：①轴向拉压变形；②剪切变形；③扭转变形；④弯曲变形。
1.杆件拉伸和压缩的变形特点
杆件拉伸和压缩的受力特点：作用在直杆两端的外力等值、反向，作用线与 直杆的轴线重合。变形特点：直杆沿轴线方向伸长或缩短。凡以轴向伸长为主要 变形特征的杆件称为拉杆，以轴向压缩为主要变形特征的杆件称为压杆。
2.内力与应力
（1）内力
直杆在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。这种内力将 随外力增大而增大。当外力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。内力与直杆 的强度密切相关，拉压杆上的内力又称为轴力。
（2）截面法
将受外力作用的直杆假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定 其合力的方法称为截面法。它是分析直杆内力的唯一方法，具体求法如下：
如图1-1-19所示为受拉直杆，假想沿截面m-m将直杆切开，分为Ⅰ和Ⅱ两段。 取Ⅰ段为研究对象。在Ⅰ段的截面m-m上到处都作用着内力，其合力为FN。FN是Ⅱ 段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。由于外力F的作用线沿直杆轴线，所以截 面m-m上内力的合力也必然沿直杆轴线。据此，可列出其平衡方程，为FN-F＝ 0，得FN＝F。
图 1-1-19
综上所述，求杆件内力的方法——截面法的步骤可概述如下：
①截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把直杆切开。
②取：选取其中一部分为研究对象。
③代：以截面上的未知内力来代替另一部分对研究对象的作用。
④平：根据研究对象的平衡条件，列出平衡方程，以确定未知内力的大小和 方向。
a.外力不能沿作用线移动，即力的可传性不成立，因为材料力学的研 究对象是变形体，不是刚体。
b.截面不能切在外力的作用点处。
c.若所求内力为负值，则说明实际内力方向与预设方向相反。
（3）应力
单位面积上的内力称为应力。轴向拉伸和压缩时，应力垂直于横截面，称为 正应力，记为σ。正应力σ表示为 σ＝FN/S。
σ的单位为MPa，FN的单位为N，S的单位为mm2。
正应力的正负号规定为：拉应力为“＋”，压应力为“-”。
（4）胡克定律：对于拉（压）杆，当应力不超过某一限度时，其正应力σ与 应变ε成正比。此时受力后产生的变形为弹性变形。
应变ε为单位长度的变形量，即ε＝ΔL/L0。
标准式：σ＝E·ε
E称为弹性模量，单位为MPa或GPa，它是衡量材料抵抗弹性变形的一 项指标。
3.拉伸（压缩）时材料的力学性质
（1）低碳钢拉伸时的力学性质
整个拉伸变形过程可分为四个阶段，即弹性变形阶段、屈服阶段、强化阶段 和缩颈阶段。 应力-应变曲线图如下：
弹性变形阶段：在拉伸的初始阶段，Oa为一直线段，它表示应力与应变成 正比关系，在这一阶段试样的变形完全是弹性的，此时若卸载，试样即恢复原 样。b点是不发生塑性变形所对应的最大应力，称为材料的弹性极限。这种随载 荷的存在而产生、随载荷的去除而消除的变形即为弹性变形。
屈服阶段：当由b点逐渐发展到c点时，应力几乎不增加而应变急剧增加，而 且出现了不可恢复的塑性变形，这种现象称为屈服，bc段称为屈服阶段。把试样 发生屈服而力首次下降前的最大应力称为上屈服强度，用ReH表示。把在屈服期 间，不计初始瞬时效应时的最小应力称为下屈服强度，用ReL表示。
强化阶段：经过屈服后，曲线由c点升到e点，这说明材料又恢复了对变形的 抵抗能力。若继续变形，必须增加应力，这种现象称为强化。在该阶段中，试样 主要产生塑性变形。把强化阶段相应最大力Fm对应的应力称为抗拉强度Rm，即 材料的强度极限。
缩颈阶段：当曲线经过e点后，试样的变形集中在某一局部范围内，横截面 尺寸急剧缩小，产生缩颈现象。由于缩颈处横截面显著减小，使得试样继续变形 的拉力反而减小，直至试样被拉断（f点）。
（2）铸铁拉伸时的力学性质
从开始至试件被拉断，没有屈服和缩颈现象，没有明显的直线段。由于脆性 材料的抗拉强度很低，所以不宜用作受拉杆件的材料。铸铁材料应力-应变曲线 图如下：
（3）材料压缩时的力学性质
低碳钢压缩时，屈服阶段后，试件被越压越扁，曲线上升不到强度极限；铸 铁压缩时，其抗压强度极限远大于抗拉强度极限（3～4倍）。压坏时，其断口与 轴线约成45°，表明铸铁压缩时沿斜截面相对错动而断裂。脆性材料由于抗压强 度很高，常用于受压杆件。
低碳钢材料 铸铁材料
4.许用应力和安全系数
为了保证杆件的安全，必须使杆件在载荷作用下的最大应力低于材料的极限 应力。将极限应力除以一个大于1的系数作为工作时允许的最大应力，这个应力 称为材料的许用应力，用[σ]表示，即
[σ]＝[σs]＝σs/n（塑性材料）
[σ]＝[σb]＝σb/n（脆性材料）
式中，n是安全系数，它反映了杆件必要的强度储备。在工程实际中，静载 荷塑性材料一般取安全系数n＝1.5～2，对脆性材料取2.5～3.5。安全系数也反 映了经济与安全之间的矛盾关系。取值过大，许用应力过低，造成材料浪费；反 之，取值过小，安全得不到保证。
5.拉伸和压缩的强度校核
利用拉伸与压缩时的强度条件，可以解决三类问题：强度校核、截面尺寸选 择和确定许可载荷。
二、剪切与挤压（理解）
1.剪切
（1）剪切的特点
受剪切的零件的受力特点是作用于杆件两侧面上外力的合力大小相等、方向 相反， 且作用线相距很近；变形特点是杆件沿两力作用的截面发生相对错动。
（2）剪切和切应力
①剪力
如图1-1-20所示，刀刃在外力作用下使零件发生剪切变形，在零件内部产生 一个抵抗变形的力，称为剪力。根据截面法可求出该截面的内力—剪力，剪力大 小与外力相等且与该受力截面相切，如图1-1-20（c）所示。剪力的单位是 N （牛顿）或 kN（千牛顿）。剪力常用FQ表示。
（a） （b） （c）
图 1-1-20
②切应力
切应力表示沿剪切面上应力分布的程度，即单位面积上所受到的剪力。 由 于剪切面附近变形复杂，切应力在剪切面上的分布规律难以确定，因此工程中一 般近似地认为剪切面上的应力分布是均匀的，其方向与剪切力相同，即τ＝ FQ/S。
切应力的单位是Pa（帕）或MPa（兆帕）。
2.挤压
（1）挤压的概念
杆件发生剪切变形的同时，往往还在传力的接触面上发生挤压现象（图1-1- 21）。当相互挤压力很大时，作用面间将可能发生塑性变形或压溃。彼此相互接 触压紧的表面称为挤压面，彼此相互挤压的作用力称为挤压力。
图 1-1-21
（2）挤压应力
工程中常假定挤压应力在挤压面上是均匀分布的。挤压面上单位面积所受到 的挤压力，称为挤压应力，其表达式为：σjy＝Fjy/Sjy。
在圆柱表面上，挤压应力分布并非均匀。工程实际中采用近似计算，即把作 用于圆柱表面上的应力，认为在其直径的矩形投影面上是按均匀分布的，如图1- 1-22所示，即用直径截面代替挤压面，则Sjy＝l·d（l表示受力高度）。
图 1-1-22
3.抗剪强度和抗挤压强度
（1）抗剪强度
剪切面上的最大切应力，即抗剪强度τmax不得超过材料的许用切应力：τmax＝ FQmax/S≤[τ]
（2）抗挤压强度
为保证连接件具有足够的抗挤压强度而不被破坏，挤压面上的最大挤压应力 不得超过许用挤压应力，即σjymax＝Fjymax/Sjy≤[σjy]
（1）利用抗剪强度和抗挤压强度两个条件可解决三类强度问题，即强 度校核，设计截面尺寸和确定许用载荷。
①强度校核，τmax＝FQmax/S≤[τ]，σjymax＝Fjymax/Sjy≤[σjy]。
②选择截面尺寸，S≥FQmax/[τ]，Sjy≥Fjymax/[σjy]。
③确定许可载荷，FQmax≤[τ]·S，Fjymax≤[σjy]·Sjy。
（2）由于受剪零件同时伴有挤压作用，所以在校核强度时不仅要计算抗剪 强度，还要计算抗挤压强度。
（3）在进行三类强度问题计算前，应先明确计算类别，再根据强度条件进 行计算。
4.剪切和挤压在生产实践中的应用
工程中，常用作连接的螺栓、键、销、铆钉等标准件，它们受到的剪力和挤 压力较复杂，变形也复杂。因此，在计算设计这类零件时常采用实用计算法，即 假定剪力、挤压力是均匀分布的，利用抗剪强度、抗挤压强度计算公式校核强 度、设计截面尺寸以及确定许用载荷。为了使机器中关键零件产生超载时不致损 坏，把机器中某个次要零件设计成机器中最薄弱的环节，机器超载时，这个零件 先行破坏，从而保护了机器中其他重要零件。
三、圆轴扭转（识记）
1.扭转的概念
杆件的扭转受力特点：杆件两端受到大小相等、方向相反的一对力偶的 作用。
杠杆的扭转变形特点：杆件上各个横截面均绕杆件的轴线发生相对转动。
在工程中，以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，上、下两截面所扭转的角 度称为相对扭转角，如图1-1-23所示。
图 1-1-23
2.圆轴扭转的外力偶矩计算：
M≈9 550P/n （P的常用单位是kW，n的常用单位是r/min）
3.扭矩
圆轴扭转时横截面上的内力是一个力偶矩，称为扭矩，以符号MT表示，常 用单位为N·m。
符号规定：按右手螺旋法则规定扭矩的正负号，四指弯曲方向同扭矩的转 向，则大拇指指向为扭矩矢量的方向，大拇指指向背离截面时，扭矩为正，反之 为负。
4.圆轴扭转变形
（1）各圆周线相对于轴线旋转了一个角度，但其形状大小及圆周线间距没 有变。
（2）各纵向线均倾斜了一个小角度，矩形变成了平行四边形。
扭转时，圆轴的横截面始终为平面，形状、大小都不改变，只有相对轴线的 微小扭转变形，因此在横截面上无正应力，而只有垂直于半径的切应力。
5.切应力分布规律
圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点 的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。分布规律如图1-1-24所示。
图 1-1-24
7.圆轴扭转强度条件
为了保证受扭转圆轴能正常工作而不致破坏，应使圆轴内的最大工作切应力 不超过材料的许用切应力[τ]，即
8.提高抗扭强度的方法
（1）选用合理的截面，提高抗扭截面系数；
（2）合理改善受力情况，降低最大扭矩。
四、直梁弯曲（识记）
1.弯曲的概念
弯曲变形的特点是杆件所受的力是垂直于轴线的横向力，在其作用下梁的轴 线由直线变成曲线。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁，如图1-1-25所示。
图 1-1-25
2.梁的基本形式
梁的支承和受力很复杂，计算中常将梁简化为三种典型形式。
（1）简支梁
简支梁一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座的梁，如图1-1-26 （a）所示。
（2）悬臂梁
悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁，如图1-1-26（b）所示。
（3）外伸梁
外伸梁是具有一个或两个外伸部分的梁，如图1-1-26（c）所示。
图 1-1-26
3.梁弯曲变形的内力
梁的内力包括剪力FQ和弯矩M，下面以简支梁（图 1-1-27）为例加以 说明。
图 1-1-27
（1）首先求出梁上所受外力
由静力平衡条件可得：FRA＝Fb/L，FRB＝Fa/L。
（2）用截面法求内力
①在截面m-m 处假想地把梁切为两段。
②取左段为研究对象。由于左段作用外力FRA，则在截面上必有一与FRA大 小相等、方向相反的力FQ。由于该内力切于横截面，因此称为剪力。又由于FRA 与FQ形成一个力偶，因此在截面处必存在一个内力偶M与之平衡，该内力偶称为 弯矩。
由∑F＝0得FRA-FQ＝0，FQ＝FRA。
由∑M＝0得M＝FRA·x。
由此可以看出：弯曲时，梁的横截面上产生两种内力，一个是剪力，一个是 弯矩。
（3）剪力和弯矩符号的规定
剪力符号规定：左上、右下为正，反之为负。
弯矩符号规定：使梁弯段上凹为正，反之为负。
③建立平衡方程：
（1）纯弯曲
梁上各横截面内剪力为零、弯矩为常数的弯曲变形称为纯弯曲。
（2）纯弯曲的变形与应力
在梁表面画上均匀的横线和纵线，然后在梁的纵向对称面内施加一对力偶 M（图1-1-28）。观察梁的弯曲变形可知：
①横线仍为直线，且仍与纵线正交，但转了一个角度。
②所有纵线变为圆弧线，梁上部凹边纵线缩短，下部凸边纵线伸长。
4.梁的强度
图 1-1-28
在梁上部凹边压缩最大，压应力最大；梁下部凸边拉伸最大，拉应力最大； 因为中性层既不伸长也不缩短，所以中性层的正应力为零。
梁的横截面上任意点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比。（图 1- 1-29）
图 1-1-29
（3）提高抗弯强度的措施
要提高梁的抗弯强度可以从以下四个方面考虑：①合理布置载荷，降低 Mmax ；②选用合理的截面形状；③采用变截面梁；④提高梁的抗弯刚度。
五、组合变形（识记）
1.组合变形的概念
在工程实际中，把构件在载荷作用下，同时发生两种或两种以上的基本变形 称为组合变形。
2.拉（压）弯组合变形
梁的变形就是由拉伸（压缩）和弯曲共同作用的拉（压）弯组合变形。例 如：厂房的边柱（图1-1-30）。
图 1-1-30
3.弯扭组合变形
如图1-1-31所示传动轴AB是带传动的带轮轴。当电动机带动带轮旋转时， 带轮上的带分别产生松边张力和紧边张力，二力共同作用在带轮上，使轴产生弯 曲变形。同时电动机对轴产生的力偶矩M使轴发生扭转变形。传动轴产生弯扭组 合变形。
图 1-1-31
【考法能力拓展】
　（2022年真题）画出图1中杆件、图2中球体处于平衡状态时的受力分析图，假设 所有接触处均为光滑接触，直接在题图上画，不要用力的正交分解的画法。
图 1 图 2
【参考答案】
F
W
【答题分析】为了清晰地表示物体的受力情况，常需把研究的物体从周围物体中分离出来，然后把其 他物体对研究对象的全部作用力用简图形式表示出来。这种表示物体受力的简明图形称为受力图。对物体 进行受力分析、画受力图的步骤如下：（1）确定研究对象，单独画出其简图。（2）分析研究对象受到的 主动力和约束力。（3）画出受力图，画约束力时应取消约束，用约束力代替它的作用。
　如图所示为一不计自重的水平外伸梁，已知力F＝2 kN，DA段所受均布载荷为q＝ 2 kN/m，DC长度为4 m，Me＝5 kN·m，试求支座A、B处的约束反力。
【参考答案】FB＝5 kN，FA＝-1 kN。
DA段所受均布载荷可由一集中力Fq替代，作用点在DA段中点：
Fq＝q×1＝2×1 kN＝2 kN
∑F＝0，FA＋FB-F-Fq＝0，FA＋FB-2-2＝0
∑MA（F）＝0，FB×2＋Fq×0.5-Me-F×3＝0，FB×2＋2×0.5-5-2×3＝0
联立解得：FB＝5 kN，FA＝-1 kN。
【答题分析】解：取杆DC为研究对象，受力分析如图所示：
　如图所示电缆盘重 W＝20 kN，半径 R＝40 cm，如用一通过其中心的水平力F将电 缆盘拉过高h＝8 cm的台阶，求此水平力的大小。如果要使作用力F为最小值，且能将电缆盘拉 过台阶，问：应沿哪个方向拉？并求此最小力的值。
取电缆盘为研究对象，进行受力分析，受力图如下。电缆盘受主动力W、F和台阶的约束力 N 的作用而 平衡，此三力构成一平面汇交力系。
如图所示，建立直角坐标系，由平面汇交力系平衡方程得：
【参考答案】（1）由题图可知，sin α＝（R-h）/R＝（40-8）/40＝4/5，则cos α＝3/5。
（2）如果使作用力F为最小值，且能将电缆盘拉过台阶，则应沿着与N垂直的方向拉。 如下图所示， 建立直角坐标系，由平衡方程得：ΣFx＝0，即Fmin-Wcos α＝0，解得Fmin＝12 kN，故此最小力 Fmin＝12 kN。
　如图所示，设一直杆沿轴线同时受力F1、F2、F3作用，F1＝2 kN，F2＝3 kN，F3＝ 1 kN，其作用点分别为A、C、B，求直杆各截面上的轴力。
【参考答案】由于直杆上作用有三个外力，所以在AC 段和CB段的截面上将有不同的轴力。
在AC 段内的任意处以截面1—1将直杆截开，取左段为研究对象，将右段对左段的作用以内力FN1代 替，如图（a）所示。由平衡条件可知FN1必与直杆的轴线重合，方向与F1相反，为拉力，由平衡方程得：
ΣFx＝0，FN1-F1＝0
FN1＝F1＝2 kN
图（a）
图（b）
同样，用截面2—2将直杆截开，仍取左段为研究对象，如图（b）所示，由平衡方程得：
ΣFx＝0，FN2-F1＋F2＝0
FN2＝F1-F2＝（2-3） kN＝-1 kN
结果中的负号说明，该截面上内力的方向与原设定的方向相反，即FN2为压力，其值为1 kN。
【答题分析】截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其 合力的方法，称为截面法。它是分析杆件内力的唯一方法。
（1）截面不能取在集中力或集中力偶的作用面上。
（2）计算内力时，一般假设未知内力为正（当内力方向很明显时，可按实 际方向设定）。
（3）轴力符号规定：轴向拉伸时，FN为正（背离截面）；轴向压缩时，FN 为负（朝向截面）。
　如图所示三角形杆系结构中，AB为直径d＝22 mm的圆截面钢杆，AC为边长a＝75 mm的正方形木杆，已知钢材的许用应力[σ1]＝170 MPa，木材的许用应力[σ2]＝10 MPa，若在铰 接处销钉A处挂一重物P＝20 kN。
（1）试校核AB、AC杆的强度；
（2）若要保证两杆安全，请计算最大许可载荷。
【参考答案】（2）若要保证钢杆AB安全，σ1≤[σ1]，FNAB≤S1[σ1]， P≤32.29 kN；
若要保证木杆AC安全，σ2≤[σ2]，FNAC≤S2[σ2]，P≤32.48 kN；
若两杆均安全，最大许可载荷P为32.29 kN。
【参考答案】（1）选取CD杆为研究对象，受力分析如图所示：
　 　如图所示吊架，载荷Q＝15 kN，各杆的自重不计。
（1）试求支杆AB对杆CD的支撑力；
列出平衡方程：
∑MC（F）＝0，FB sin30°LBC-QLCD＝0
解得FB＝15×2×2 kN＝60 kN
支杆AB对CD杆的支撑力为60 kN
（2）若钢制支杆AB的截面为正方形，边长a＝10 mm，该支杆材料选用Q225，安全系数取 1.5，试校核支杆AB的强度是否足够？若强度不够，则AB杆的边长至少为多少毫米才能保证该杆 的强度？
【参考答案】（2）选取AB杆为研究对象，受力分析如图所示：
由作用力和反作用力定理得FA＝-FB'＝-FB＝-60 kN
由截面法得，AB杆的轴力FN＝60 kN（压力）
A.比例极限 B.弹性极限 C.屈服极限 D.强度极限
【参考答案】C
【答题分析】塑性材料以屈服极限（σs）作为极限应力（σm），因为塑性材料受力达到屈服极限时， 会发生明显的塑性变形，失去正常工作能力。脆性材料以强度极限（σβ）作为极限应力，因为脆性材料被 破坏前无明显塑性变形，直接发生断裂。

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