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BY YUSHEN
第二章　正投影法与三视图
机械制图
【思维结构图引】
【考纲多维解读】
考纲要求 命题趋势 考向分析
一、正投影法和三视图
1.投影法的概念与分类
2.正投影的特性
3.三视图的形成、六向方位关系及三视图的投影规律
二、点、直线和平面的投影
1.点的三面投影及点的投影规律
2.直线的三面投影及投影特性
3.平面的三面投影及投影特性
三、基本体
1.基本体的视图画法
2.基本体表面求点的方法
3.基本体的尺寸注法
1.考查学生对投影概念的识记与区别；熟知投影的类型
2.要求学生了解正投影的特性
3.要求学生熟知三视图的形成、三视图的方位关系及投影规律
4.考查学生对点的投影的熟知程度
5.考查学生对直线投影特性及规律的熟知程度
6.考查学生对平面投影特性及规律的熟知程度
7.考查学生对基本体视图画法的掌握程度及熟练程度
8.考查学生对基本体表面求点的掌握程度及熟练程度
9.考查学生对基本体尺寸标注的掌握程度及熟练程度 【考查内容】
1.投影法的概念及分类
2.三视图的方位关系
3.点、线、面投影的应用
4.简单的基本体视图的画法
5.基本体表面求点
6.基本体的尺寸标注
【考查题型】
一般为填空题、单项选择题、多项选择题和作图题等
【分值】
一般为8～14分
【考点知识梳理】
一、投影法的概念与分类（识记）
1.投影法的概念
用投射线（投影线）通过物体向选定的面投影并在该投影面上得到图形的方 法称为投影法（或用投影原理在平面上表达物体形状的方法，叫投影法）。

2.投影法的分类
中心投影法：投射线汇交于一点
平行投影法
正投影：投射线垂直于投影面 斜投影：投射线倾斜于投影面
投影法
二、正投影的特性（理解）
由于正投影能反映物体的真实形状和大小，具有较好的度量性，绘制也较简 便，所以在机械制图中得到广泛应用，绘制机械图样主要采用正投影法。

图 2-2-1

三个视图分别为：
主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V面）上所得到的视图。
俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H面）上所得到的视图。
左视图：从左往右进行投影，在侧立投影面（W面）上所得到的视图。
在实际作图时由于主要依据三视图的投影规律，一般不要画出投影面的边 框，也不要画出投影轴。如图2-2-2所示。
图 2-2-2
3.三视图的关系及投影规律
每个视图反映了物体一个方向的形状、两个方向的尺寸和四个方位。为方便 记忆，将三视图之间的三个关系总结如下：
（1）位置关系
以主视图为中心，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视 图的正右方。如图2-2-3所示。
图 2-2-3
图 2-2-3
（3）方位关系
物体上下“主左”现，物体左右“主俯”现，物体前后看“左俯”，近是后 面远是前（即左视图和俯视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一 侧为物体的前面），如图2-2-4所示。
图 2-2-4
一、点的三面投影及点的投影规律（掌握）
1.点的投影特性
点的投影特性：点的投影永远是点。
2.点的投影标记
如图2-2-5（a）所示，将空间点A置于三投影面体系中，自点A分别向三个 投影面作垂线（即投射线），交得的三个垂足a、a'、a″即为点A的H面投影、V 面投影和W面投影。
按统一规定，空间点用大写字母A、B、C…标记。空间点在H面上的投影用 相应的小写字母a、b、c…标记；在V面上的投影用小写字母加一撇a'、b'、c'… 标记；在W面上的投影用小写字母加两撇a″、b″、c″…标记。
（a）
3.点的三面投影
将图2-2-5（a）按投影面展开法展开（图2-2-5（b）），并将投影面的边框 线去掉，便得到图2-2-5（c）所示点的三面投影图。
（a） （b） （c）
图 2-2-5
为了便于进行投影分析，用细实线将点的相邻两投影连起来，如图2-2-5 （d）所示。aa'和a'a″称为投影连线。a与a″不能直接相连，因为在三个投影面展 开时，Y轴被分开了，YH和YW均表示同一根Y轴，因而作图时常以O为圆心，以Y 轴坐标为半径画圆弧把它们联系起来，或者用如图2-2-5（e）、（f）所示的辅 助线法实现这个联系。
（d） （e） （f）
图 2-2-5
4.点的投影规律
（1）点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于OX轴，即aa'⊥OX；
（2）点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于OZ轴，即a'a″⊥OZ；
（3）点的水平面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即 aaX＝a″aZ。
点本身没有长、宽、高，但是，点在三投影面体系中的投影规律，反 映了“三等”对应关系的实质。几何体上每一个点的投影都应符合这一投影规 律。
6.点的投影与坐标
由图2-2-6可知，空间点的任一面投影，都由该点的两个坐标值来确定。
水平面投影a由点A的x、y两坐标确定。
正面投影a'由点A的x、z两坐标确定。
侧面投影a″由点A的y、z两坐标确定。
（a） （b） ` （c） （d）
图 2-2-6
7.两点的相对位置
在三投影面体系中，两点的相对位置是由两点的坐标差决定的。例如xA＞ xB，表示A点在左，B点在右。
8.重影点的投影
当空间两点的某两个坐标值相同时，该两点处于某一投影面的同一投射线 上，则这两点对该投影面的投影重合于一点，称为对该投影面的重影点。
重影点有可见性问题。根据三面投影方向，两者重影，居左、前、上者可 见，不可见的点，加圆括号表示。
二、直线的三面投影及投影特性（掌握）
1.直线
两点构成一条直线。绘制直线的投影图，只要作出直线上任意两点的投影， 再将两点的同面投影连接起来，即得到直线的三面投影，如图2-2-7所示。
图 2-2-7
2.直线的投影特性（单面投影）
空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直和倾斜三种，三种位置有不 同的投影特性，如图2-2-8所示。
（1）收缩性：当直线与投影面倾斜时，则直线的投影为比实际长度短的一 条线段。
（2）真实性：当直线与投影面平行时，则直线的投影为与实际长度一样长 的一条线段。
（3）积聚性：当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚成一点。
图 2-2-8
3.直线在三面投影面体系中的投影特性
在三投影面体系中，直线相对于投影面的位置可分以下三类：
投影面平行线
正平线 侧平线 水平线
投影面垂直线
正垂线 侧垂线 铅垂线
一般位置直线
直线段
①在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的斜线。
②在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。
（1）投影面平行线：平行于一个投影面而倾斜于其他两个投影面的直线。
投影特性：
（2）投影面垂直线：垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线。
投影特性：
①在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。
②在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且反映实长。
（3）一般位置直线：与三个投影面都处于倾斜位置的直线。
三个投影都变短，呈现收缩性；其投影与三条投影轴都倾斜。
三、平面的三面投影及投影特性（掌握）
平面的表示：由几何知识可知如下结论：
（1）不在同一直线的三点可以确定一平面。
（2）一直线和直线外一点可确定一个平面。
（3）相交的两直线可确定一个平面。
（4）平行的两直线可确定一个平面。
（5）任意的平面多边形可确定一个平面。
为了解题方便，常常用一个平面图形表示平面。所以平面的投影就是把平面 图形上的一系列点（多边形的各顶点），向投影面投影，然后按顺序连接即可， 其实质仍以点的投影为基础。
1.平面的投影特性
空间平面图形对于一个投影面的位置有平行、垂直和倾斜三种，三种位置有 不同的投影特性，如图2-2-9所示。
（1）真实性：当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形。
（2）收缩性：当平面与投影面倾斜时，则平面的投影变为小于平面实形的 类似形。
（3）积聚性：当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条线。
图 2-2-9
2.平面在三投影面体系中的投影
根据平面在三投影面中的位置不同可分为三类：
投影面平行面
正平面 侧平面 水平面
投影面垂直面
正垂面 侧垂面 铅垂面
一般位置平面
平面
①在所平行的投影面上的投影反映实形。
②在其他两个投影面上的投影分别积聚成一直线，并且平行于相应的投 影轴。
（1）投影面平行面：平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影面的 平面。
投影特性：
（2）投影面垂直面：垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面的 平面。
投影特性：
①在所垂直的投影面上的投影积聚为一段斜线。
②在其他两投影面上的投影均为缩小的类似形。
（3）一般位置平面：与三个投影面都处于倾斜位置的平面。
三个投影都变小，呈现收缩性；其投影与投影轴都倾斜。
一、基本体的视图画法和表面求点的方法（综合运用）
1.基本几何体的分类
（1）平面立体：表面全部由平面所构成的形体，如棱柱、棱锥等。
（2）曲面立体：表面是由曲面和平面或者全部由曲面所构成的形体，如圆 柱、圆锥、球、圆环等。（图2-2-10）
图 2-2-10
2.平面体的投影和表面求点
作平面立体的投影就是把组成立体的平面和棱线表示出来，并判断其可见 性。可见的线用粗实线表示，不可见的线用细虚线表示。
（1）棱柱
①三视图分析
如图2-2-11所示，主视图由三个矩形线框构成，中间线框为棱柱前面、后面 的实形，左、右线框为棱柱四个侧面的类似形，上、下两直线为顶面、底面积聚 成的直线；俯视图为一个正六边形，正六边形为顶面、底面的实形，六条边为六 个侧面积聚成的直线；左视图由两个矩形线框构成，两个矩形线框为两侧面的类 似形，最前、后两直线为棱柱前、后两侧面的积聚性投影，上、下两直线为顶 面、底面的积聚性投影。
图 2-2-11
②六棱柱三视图作图步骤
a.绘制三个视图的对称线
b.绘制正六棱柱的俯视图
c.绘制主视图
d.绘制左视图
图 2-2-11
③表面上求点：立体表面上的点，其投影一定位于该表面的同名投影上。
规定：点与积聚性投影的表面重影时，可不加括号。
分析：正六棱柱的八个表面均为特殊位置平面，即在三个投影中均能找到具 有积聚性的一面投影，所以其表面上点的投影均可利用积聚性求得。如图2-2-12 所示。
图 2-2-12
（2）棱锥
①三视图分析
如图2-2-13所示，主视图为一个等腰三角形线框，三角形各边分别是底面与 左、右侧面的积聚性投影，整个三角形线框为四棱锥前、后面的类似形；俯视图 是由四个三角形组成的正方形线框，正方形线框为底面实形，对角线交点为锥顶 点，对角线为四条侧棱的投影；左视图为一个等腰三角形线框，三角形两条斜边 为前、后侧面的积聚性投影，整个三角形线框是左、右侧面的类似形，三角形线 框的底边是底面的积聚性投影。
图 2-2-13
②正四棱锥三视图作图步骤
a.绘制对称面投影
b.绘制正四棱锥的俯视图
c.绘制主视图
d.绘制左视图
图 2-2-13
③求表面上点的投影
求点方法：
第一步，确定点位于哪个面上，再分析平面的投影特性。
第二步，若该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影 （即利用点所在面的积聚性法）；若该平面为一般位置平面，可通过作辅助线的 方法求得（即辅助线法）。
辅助线一般为过锥顶的表面直线（有锥顶时较方便）。
3.曲面体的投影
（1）圆柱
①三视图分析
如图2-2-14所示，主视图是一个长方形线框，线框的上、下两条直线是圆柱 体的上、下底面的积聚性投影，线框的左、右两轮廓线是圆柱面上最左、最右素 线的投影，最左、最右素线是主视图圆柱表面看得见和看不见的分界线；俯视图 是一个圆，圆平面是上、下底面的实形投影，圆周则是圆柱面的积聚性投影；左 视图也是一个长方形线框，其上、下两直线是圆柱上、下底面的投影，其左、右 两竖线则是圆柱面上最后、最前两条轮廓线的投影，也是左视图圆柱表面可见性 分界线。
图 2-2-14
主、左视图中的细点画线和俯视图中细点画线的交点表示圆柱体回转轴 的投影。
②三视图作图步骤
a.绘制三个视图的中心线
b.绘制圆柱的俯视图
c.绘制主视图和左视图
图 2-2-14
　　③求表面上点的投影
图 2-2-15
求点方法：利用点所在面的积聚性（因为圆柱侧面和两底面至少有一个投影 具有积聚性）。例如：如图2-2-15所示，已知点C在圆柱表面上，并知它的正面 投影c'，求出C点的另外两个投影。由点C的正面投影c'可知点C的正面投影可 见，因此点C在前半部分圆柱面上。由于圆柱面的水平投影积聚成圆，故点C的 水平投影必然在此圆上，由点c'向下引铅垂线交圆的前半周于点c，即为点C的水 平投影。由c'、c可求出c″，因为点C在左半部分圆柱面上，所以它的侧面投影c″ 可见。
图 2-2-15
（2）圆锥
①三视图分析
如图2-2-16所示，圆锥的主视图是一个等腰三角形，其底边为圆形底面的积 聚性投影，两腰是最左、最右素线的投影；俯视图是一个圆，是圆锥面和底面的 重合投影；左视图与主视图一样，也是一个等腰三角形，其两腰分别表示最前、 最后两轮廓素线的投影。
图 2-2-16
②三视图作图步骤
a.绘制三个视图的中心线
b.绘制圆锥的俯视图
c.绘制主视图和左视图
图 2-2-16
③求表面上点的投影
已知点A在圆锥表面上，并知它的正面投影a'，求出A点的另外两个投影。
a.辅助线法
由于点A的正面投影a'可见，并在轴线之左，因此点A在左前半部分圆锥面 上。由于圆锥面的三个投影都无积聚性，需用素线法求取锥面上点的投影。可在 锥面上过点A作素线SA，并延长与底圆的前半周交于点E，画出直线SE的投影， 再根据点线的从属关系，求得点A的另外两个投影。因为点A在左半部分圆锥面 上，它的侧面投影a″可见，如图2-2-17所示。
图 2-2-17
b.辅助面法
由于点A的正面投影a'可见，并在轴线之左，因此点A在左前半部分圆锥面 上。也可以用纬圆法求取点A的投影，即过点A作一平面平行于底圆，此平面与 圆锥面的交线为一个圆，称之为纬圆，它的水平投影将反映纬圆的实形。点A的 水平投影在此纬圆的水平投影上。据此，可作出点A的另外两个投影，如图2-2- 18所示。
图 2-2-18
（3）球
①三视图分析
如图2-2-19所示，球的三个视图都是等径的圆。
图 2-2-19
②三视图作图步骤
a.绘制三个视图的中心线
b.绘制球的主、俯、左视图
③求表面上点的投影
a.特殊位置点：当已知投影在轴线上或轮廓线上时，则其另外两面的投影必 然也在轴线上或轮廓线上。
b.一般位置点需借助于辅助面即辅助圆（图2-2-19）来求出其另外两 个投影。
图 2-2-19
二、基本体的尺寸注法（掌握）
1.常见平面立体的尺寸标注
平面立体一般标注长、宽、高三个方向的尺寸，如图2-2-20所示。其中正方 形的尺寸可采用如图2-2-20（f）所示的形式注出，即在边长尺寸数字前加注 “□”。图2-2-20（d）、图2-2-20（g）中加“（　）”的尺寸称为参考尺寸。
图 2-2-20
2.常见回转体的尺寸标注
圆柱和圆锥应注出底圆直径和高度尺寸，圆锥台还应加注顶圆的直径。直径 尺寸应在其数字前加注符号“ ”，一般注在非圆视图上。这种标注形式用一个 视图就能确定其形状和大小，其他视图就可省略，如图2-2-21所示。标注球的直 径和半径时，应分别在“ ”、“R”前加注符号“S”，如图2-2-21（d）、图 2-2-21（e）所示。
图 2-2-21
【考法能力拓展】
　（2021年真题）以下视图反映了物体“宽相等”的是 　　　　。 （　　）
A.俯、左视图 B.主、左视图
C.主、俯视图 D.主、仰视图
【参考答案】A
【答题分析】由于三个视图反映的是同一物体，其长、宽、高是一致的，所以每两个视图之间必有一 个相同的度量。即
主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。
主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。
俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。
因此，三视图之间的投影对应关系可以归纳为：主、俯视图长对正（等长）。主、左视图高平齐（等 高）。俯、左视图宽相等（等宽）。
上面所归纳的“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对于任何一个物体，不论 是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变。“三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我 们看图、画图和检查图样的重要依据。
　（2021年真题）点的Y坐标越小，其位置越靠 　　　　。 （　　）
A.左 B.右 C.前 D.后
【参考答案】D
【答题分析】点到三个投影面的距离可以用直角坐标系的三个坐标x、y、z表示。点的坐标值的意义如 下：点A到W面的距离以坐标x标记；点A到V面的距离以坐标y标记；点A到H面的距离以坐标z标记。y坐标 越小，其位置越靠后。
　　 （2021年真题）如下物体上有A、B、C、D四点，以下说法正确的 是 　　　　。（　　）
A.AB是正垂线，BC是铅垂线，CD是正平线
B.AB是正平线， BC是铅垂线， CD 是正垂线
C.AB是一般位置直线，BC是铅垂线，CD是正垂线
D.AB是正平线，BC是正垂线， CD是铅垂线
【参考答案】B
【答题分析】投影面平行线的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的 斜线；（2）在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。投影面垂直线的投 影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）在其他两个投影面上的投影分别平行 于相应的投影轴，且反映实长。一般位置直线的投影特性：（1）在三个投影面上的投影均是倾斜 直线；（2）投影长度均小于实长。
　　 　（2022年真题）画出图中三角形的第三面投影，保留作图过程。
【参考答案】
【答题分析】投影面垂直面的投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一段斜线。（2）在 其他两投影面上的投影均为缩小的类似形。分析给定的三角形平面的正面投影和侧面投影，判断该三角形 平面属于正垂面，所以在俯视图上的投影是类似的三角形。
（2023年真题）画出图中基本体表面上点N在另外两个视图上的投影，保留作图过程。
【参考答案】
【答题分析】此题运用积聚性和投影特性求其余两面投影。还可应用辅助线法或辅助面法求点的其余 两面投影。
　　 　（2024年真题）补画圆柱的第三视图，标注圆柱的尺寸，尺寸数字取整，并 作出表面点的其余两面投影。
【参考答案】（尺寸数字为参考）
【答题分析】利用积聚性进行补画点的投影。任何物体都具有长、宽、高三个方向的尺寸。在视图上 标注基本几何体的尺寸时，应将三个方向的尺寸标注齐全，既不能少，也不能重复和多余。在三视图中， 对于回转体圆柱、圆锥、圆台的尺寸应尽量注在反映基本形体形状特征的视图上，而圆的直径一般注在投 影为非圆的视图上。

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