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2025-2026学年下学期八年级数学期末素养评价
一、单项选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
1．若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺的和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上边沿，重合的顶点落在直尺的下边沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上边沿于两点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．若，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3
9．在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
10．如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分
11．已知是分式方程的根，则实数的值为________．
12．已知，，则代数式的值是______．
13．如图，直线经过、两点，则关于的不等式组的解集为________．
14．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ．
15．如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______．
三、解答题:本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
(1)将以点C为旋转中心旋转得到，请画出；
(2)平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______．
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步
(1)以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
(2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
四、解答题(本大题共3小题,每小题9分,共27分.)
19．2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件．
(1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？
(2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？
20．如图， 中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时， 若 ，求的长．
21．阅读下面的因式分解的过程：
，
利用上述分解因式的方法，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，求的值；
(3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形．
五、解答题(本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分)
22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①； ②； ③；
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
23．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，同学们和老师一起根据定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”通过猜想发现了它的逆定理“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．证明如下：
已知：在中，是边上的中线，且，即．
求证：
证明：因为，所以是等腰三角形，则，因为，所以是等腰三角形，则，在中，内角和为：，而．代入得，，，所以：得证．
紧接着老师出示了一个问题：如图，在中，为的中点，为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于，若，试猜想与的位置关系，并加以证明．
【独立思考】
(1)请解答老师提出的问题．
【实践探究】
(2)希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，判断四边形的形状，并加以证明．
【问题解决】
(3)如图，智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，交于点，折痕交边于点．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D A B C B B C
11．
12．
13．
14．3
15．
16．(1)解：如图，即为所求；
(2)解：如图：即为所求；
（3）解：旋转中心的坐标为．
17．解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
18．（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误，
这一步错误的原因是：①第一个分式分母因式分解后应是；
②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质．
（2）解：原式
．
，
，
当时，原式．
19．（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得
，
解得 ，
检验：当时，，所以是原分式方程的解，
则，
答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元；
（2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得
，
解得，
答：最少预约销售了A款人形机器人10件．
20．（1）证明：∵，
，
∵点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
∵点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是边的中点，，
，
∵，点是边的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
．
21．（1）解：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
即，
，
，
，
∵的三边长分别为a，b，c，
∴，
即，
∴，
即，
∴是等腰三角形．
22．（1）解：①，
②，
③，
则属于“和谐分式”的是①②③．
（2）解：
．
（3）解：∵为整数，
∴也为整数，
由（2）已得：，
要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数，
∴所有可能的值为，，，，
∴所有可能的值为，，，，
即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数．
23．(1)，证明如下：
为的中点，
，
中，，
，
在和中，
，又，
，
，，
，
，
为直角三角形，．
(2)四边形是平行四边形，证明如下：
是由沿着翻折而成的，且为的中点，
，．
，
，
，
，又，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图所示，过点作于，
，四边形为平行四边形，
，，．
是由翻折形成，且，
，．
，．
，在中
，．
在中，
，
，
，
．

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