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1.4二次函数与一元二次方程的关系同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线与轴的一个交点为，对称轴是直线，则方程的另一个解是（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线与轴的公共点的坐标是（ ）
A． B． C．， D．
6．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　）
A．或 B． C． D．或
7．抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
9．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________．
10．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____．
11．已知二次函数的顶点在轴上，则的值为__________．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）；
（2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______．
三、解读
13．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为．
(1)求经过，两点的直线的解析式．
(2)当抛物线函数值时，直接写出的取值范围．
14．已知二次函数过点
(1)求m的值
(2)求图象与坐标轴的交点
15．已知抛物线与直线如图所示．
(1)求交点A，B的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
16．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程的根；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程有且只有一个实数根，写出的值．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为．
(1)求b的值，并用含a的式子表示c；
(2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围．
18．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点．
(1)点的坐标为________；
(2)当此函数图象经过点时，求此函数的解析式，并写出函数值的取值范围；
(3)当时，若函数（为常数）的图象的最高点到直线的距离为，求的值；
(4)点坐标为，以，为邻边作矩形，函数的图象与交于点（不与点重合），与或交于点，当时，直接写出的值．
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．A
5．A
6．D
7．A
8．A
9．1（答案不唯一，即可）
10．
11．
12． /
13．【详解】（1）解：将化成顶点式：，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
直线的解析式为：，
故答案为：，
（2）解：当时，，
或，
，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
当时，，
故答案为：．
14．【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得；
（2）解：由（1）得二次函数解析式为，
当时，，
图象与y轴的交点坐标为；
当时，，
解得，，
图象与x轴的交点坐标为，．
15．【详解】（1）解：联立两个函数解析式得
，解得：，
∴，
（2）设直线与y轴交点为C，如图，
当时，
∴点C坐标为
∴
=
；
（3）∵点A横坐标为，点B横坐标为1，
由图象知时抛物线在直线下方．
∴不等式的解集为．
16．【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，；
（2）解：观察图象可知：不等式的解集为；
（3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根．
17．【详解】（1）解：抛物线经过点，
．
抛物线的对称轴为，
．
；
（2）解：设点，
是抛物线上的点，
．
由题意，抛物线，
设抛物线与y轴交于点，则．
无论t为何值，抛物线都不经过点O，
无论t为何值，都有，
关于t的方程没有实数根．
，即．
，
化简得：，
解得：，
且．
18．【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）解：将点代入，得，
，
解得，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
①当时，
∴该二次函数的图象在处到达最高点，此时，
∵图象的最高点到直线的距离为，
∴，
∴，
当时，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，
当时，
整理，得，
解得或（与矛盾，舍去）；
②当时，
∴当时，随的增大而增大，
∴该二次函数的图象在处到达最高点，此时，
∵图象的最高点到直线的距离为，
∴，
∴，
解得或（与矛盾，舍去）；
综上所述，或；
（4）解：∵四边形是矩形，
又∵，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
∴，
①当点在边上，且时，如图，则，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
整理，得，
解得或（负值，舍去）；
②当点在边上，且时，如图，则，
同理，点的坐标为，
将点代入，得，
，
解得（正值，舍去）或；
③当点在边上，且时，如图，则，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
整理，得，
解得或（负值，舍去）；
④当点在边上，且时，如图，则，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
整理，得，
解得或（正值，舍去）；
综上所述，的值为或或或．
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