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1.5二次函数的应用（一）同步训练浙教版2026—2027学年九年级数学上册
一、选择题
1．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．或
5．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
6．小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．14 B．11 C．6 D．3
7．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
8．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m
10．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润．
11．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________．
12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____
三、解答题
13．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为，求x的值；
(3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
14．如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S．
(1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
(2)求当时，t的值．
15．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米．
(1)直接写出的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
(3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
16．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元．
(1)求与的函数关系式．（利润租金支出）
(2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？
17．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积；
(3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．A
5．B
6．B
7．A
8．C
9．
10．5
11．
12．
13．【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：由题意可得：，
则，
即，
解得：，，
经检验得：不合题意，舍去，
答：x的值为1；
（3）解：
，
当时，y随x的增大而减小，
故当时，y最大，，
即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为．
14．【详解】（1）解：由题意得，，
；
（2）解：当时，
，
解得．
所以经过2秒或4秒时的面积为．
15．【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为
将、坐标代入得：
解得：；
（2）解：
当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米；
（3）解：当时，
解得，
∵，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），
又∵大棚的长为160米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）
∴共需要（根）竹竿．
16．【详解】（1）解：根据题意得
（，且为的整数倍）；
（2）解：，
，
前天：当时，取得最大值，最大值为，
当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元，
后天：当时，的最大值为，
（元）．
答：这天公司获得的总利润最多为元．
17．【详解】（1）解：将，代入抛物线得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
令，则，
解得，，
∴，
∵，
∴点、关于对称轴对称，
故对称轴上任意点满足，
∴的周长，
∵为定值，
∴只需要最小即可，
由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：由（2）可得直线的解析式为，
如图，作轴，交于点，连接、，
设，则，
∴，
∴
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，的面积最大，此时，即．
18．【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点
令即解得
∴点的坐标为
令即
∴点的坐标为
抛物线经过，两点，将坐标代入得
解得
∴抛物线表达式为．
抛物线与轴交于，两点，令得
解得，
∵点的坐标为
∴点的坐标为．
（2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为
设直线的函数表达式为，代入坐标得
解得
∴直线的函数表达式为
∵点在线段上，设点坐标为，其中
过点的直线平行于轴，交抛物线于点
∴点坐标为
当时，线段在抛物线上方
∴
整理得
∴当时，取得最大值，的最大值为．
∴点坐标为，点坐标为
∴四边形的顶点坐标为，，，
∵在轴上，在轴上，
∴四边形是直角梯形
根据直角梯形的顶点坐标可知，，
∴
∴．
（3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形
根据题意可知点的坐标为，点的坐标为，
∵点在轴上，
∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为，
当平行四边形以为边时，且，
∴点和点的纵坐标相等，即，
∴
解得，
∴点的坐标为或
∵点的坐标为
∴点的坐标为（不符合题意舍去）
∴点的坐标为
∴
∴
∴
∴
∴
当时，，点的坐标为（不符合题意舍去）
当时，，点的坐标为满足点在抛物线上
∴点的坐标为
当平行四边形以为边，为对边时
且
∵点和点的纵坐标差为
∴点和点的纵坐标差为
即
当
解得，与相同舍去
当
解得，
∴点的坐标为或
以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即
解得，与相同舍去
综上所述，点的坐标为、、．
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