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第一章二次函数单元检测卷（一）浙教版2026—2027学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（）
A． B．
C． D．
6．已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=）
10．二次函数过点，，则m的取值范围为____________．
11．（1）若是二次函数，则________．
（2）若函数是二次函数，则m的值为________．
12．在平面直角坐标系中，过原点的抛物线与轴交于另一点（点与点不重合），顶点为．当为等腰直角三角形时，的值为______________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个函数图象与轴的交点坐标．
14．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度．
15．如图，二次函数 的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为 ．
(1)求k的值；
(2)点M是线段上的动点，将点M向上平移 （）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
(3)在（2）的条件下，若 ，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．
16．某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．
17．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积；
(3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”．
(1)①在点，，，中，
在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________；
②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________；
(2)已知，，，．
①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围；
②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．C
6．C
7．B
8．B
9．>
10．
11．
12．
13．【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
解得，，
这个函数图象与轴的交点坐标为，．
14．【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．
由题意，得点，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
满足设计要求的抛物线的函数表达式为．
（2）解：点，在同一高度，
点，关于对称轴直线对称，
∵，处的照明灯水平距离为，
∴可知点距离对称轴个单位长度，
点的横坐标为，
在中，当时，
点的纵坐标为，
即照明灯的高度为．
15．【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴k的值为．
（2）根据题意，轴且在抛物线上，如图：
由（1）知直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，h取最大值，
∴h的最大值为．
（3）由得或，
∴，，
同（2）当M的横坐标为m时，，
∵把M向上平移个单位得到点，
∴，
∵线段与二次函数的图象有公共点，
∴，
∴，
解得或，
∵点M在线段上，，
∴或．
16．【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得：
解得，
；
（2）解：根据题意得：，
，由已知可得
时，取最大值，最大值为，
答：，第一年年利润的最大值时万元；
（3）解：由（2）得出
依题意，记扣除捐赠后的利润为
则
∴，开口向下，对称轴
∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m 元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，
∴
17．【详解】（1）解：代入，得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
解得：，，
，
，
，
的面积为10．
（3）解：存在，理由如下：
设直线解析式为，
代入，得，
解得：，
直线解析式为，
由（2）得，，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
点P的坐标为．
18．【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，，
在点，中，
∵，
∴当时，，
∴点符合题意；
在点，中，
∵，
∴当时，，
∴点符合题意；
故答案为：，；
②一次函数是关于“相关函数”，
∴当时，，当时，，
∴时，，，
∵“相关函数”的图象是轴对称图形，
∴当时，两个函数的值相等，即，
解得；
（2）解：①已知，，，，如图所示，
二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，与原函数图像关于轴对称，
当时，，与原函数一致，
∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，
需的图像与四边形始终有2个公共点，
结合图形得到，，
令，，
解得，，
∴如图所示，与四边形只有一个交点，
二次函数与四边形始终有2个交点，
则，解得，
∴的取值范围为；
②，
由题意得，当时，，
当时，，
作二次函数与的图像如下图，
情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图，
∴，
解得，
情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图，
∴，
解得，
综上所述，的取值范围为或．

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