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分课时学案
课题 1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 ①能根据给出的条件恰当地选取二次函数表达式的类型。 ②经历观察图像、类比归纳、数形转化的过程，深化数形结合思想，提升几何直观与数学推理能力。
评价设计 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
教学过程
导入新课 【引入思考】
新知讲解 问题1： 我们继续探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0) 与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0 ）的关系。 设ax2+bx+c=0两根为 x1,x2， 则根据一元二次方程的根与系数的关系，有 则二次函数 例1：已知二次函数的图象经过点A(-1,0),B(2,0),C(-1,-3)。 求这个二次函数的表达式和图象的顶点坐标。 例2：已知关于x的二次函数y=x2-ax+a-2的图象在x轴上截得的线 段长为 2，求a的值。 归纳总结： 二次函数解析式的求法 交点式: y=a(x-x1)(x-x2) 条件：已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标(x1,0) ,(x2,0) 和抛物线上另一个点的坐标。 【知识点利用】 设特殊二次函数表达式的技巧 （1）若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为y=ax2 ； （2）若抛物线的对称轴是y轴，则表达式可设为y=ax2+c ； （3）若抛物线经过原点，则表达式可设为y=ax2+bx ； （4）若抛物线的顶点在x轴上，则表达式可设为y=a(x m)2 。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 已知二次函数的图象的顶点坐标为(1, 1) ，且经过原点(0,0) 。该二次函数的表达式为_______。 选做题： 2.已知一个二次函数的图象经过(0,0)，(1, 3)，(2, 8) 三点。 求出对应二次函数的表达式。 【综合拓展类作业】 3. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A ( 1，0)、 B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0， 3)． (1) 求二次函数的解析式；(2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标．
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1. 核心方法：会用待定系数法确定二次函数的表达式。能根据给出的条件恰当地选取二次函数表达式的类型； 2. 数学思想：数形结合、转化与归纳思想。
课后提升 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 选做题： 2.已知一个二次函数的图象与x轴两交点的横坐标分别为 3 ,4,且图象经过点(2,8) 。 【综合拓展类作业】 3.在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx-2 的图象过点 A(1，t)，B(2，t). 已知二次函数 y=ax2+bx-2 的最大值为1- a2. 求该二次函数的解析式； （2)若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： .
参考答案：
课堂练习：
y=(x 1)2 1
2.解： 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c 。
因为函数图象经过(0,0)，(1, 3)，(2, 8) 三点，
所以c=0,a+b+c= 3,4a+2b+c= 8,解得a= 1b= 2,c=0。
所以该二次函数的表达式为y= x2 2x 。
3.（1）解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x 3)，将点(0， 3)代入，得
-3 = a(0 + 1)(0 -3).解得 a = 1.
∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x - 3) = x2 -2x -3.
（2）解：设 Q (x，y)，则 S△QAB = AB | y | = 2| y | = 8.
∴ y = ±4．
Q 在x轴下方,当 y = -4 时，即 x2 2x 3 = 4.
解得 x1 = x2 = 1.
则 Q 点的坐标为(1， 4).
作业内容：
C
2.解：设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x 4) 。
因为函数图象经过点(2,8)，所以a×(2+3)×(2 4)=8 ，解得
a= ，
所以该二次函数的表达式为y=(x+3)(x 4) ，
即y=x2+x+ 。
3.解：(1) 点A(1，t)，B(2，t)在函数y=ax2+bx-2 的图象上，
∴ 1.5= ， b=-3a，
∴ 该函数的解析式为 y=ax2-3ax-2.
∵ 函数的最大值为 1 a2，
∴ a<0，且 =1 a2，
解得 a1=-1，a2=4（舍去），
∴ 该二次函数的解析式为 y=-x2+3x-2.
解： (2) 证明: ∵点 M(x1，m)，N(x2，m)在二次函数 y=-x2+3x-2的图象上,
∴ m= x12+3x1-2=-(x1-1)(x1-2), x1+x2=3,
∴
∴
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