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第1章《三角形》单元检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个
3．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　）
A．27 B．12 C．24 D．36
4．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．6
6．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A．8：7：6 B． C． D．
7．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（ ）
A． B． C． D．
10．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______．
12．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________
13．如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为射线上的一个动点．连接，过点C作交直线于点E，直线，相交于点F．当时，线段的长为________．
14．如图，已知在四边形中，，， ，则______°．

15．已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个．
16．如图，是等边三角形，D，E分别为，边上的点，且，，相交于点F，连接并延长到点M，与相交于点G，延长到点N，连接，，若，，点F是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F．
(1)和全等吗？请说明理由．
(2)若，试说明：
18．（8分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，．
(1)试判定的形状，并说明你的理由；
(2)若，求的周长．
19．（10分）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度；
(3)求证：是等边三角形．
20．（10分）如图，中，，，，，．

(1)①说明；
②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上．
21．（12分）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点．
(1)猜想：如图1所示，当时，则______；
(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；
(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．
22．（12分）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点．
(1)试说明：．
(2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为．
(3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
23．（14分）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围．
我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．C
解：三角形三边长分别为，，
根据三角形三边关系得 ，即 ，
三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数，
必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数，
边长为正整数，
符合条件的为，共个，
满足条件的三角形个数为个．
3．A
解：，
，
，
又，
，
，
，
，
又点为中点
，
，
，
．
4．C
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点E，
∵平分，，
∴，
∴，
∴．
5．C
解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∵的周长为7，的周长为15，
∴，
∴.
6．D
解：如图，过O点分别作、、的垂线、、，
∵是的角平分线，
∴，
同理，
∴，
∴．
7．B
解：∵点是角平分线的交点，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
8．B
如图，连接，
∵，点是中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∵、分别是、的外角，
∴，，
∴，，
∴．
9．B
解：设．
∵，
∴．
∴．
，
为等腰三角形，
．
，
为等腰三角形，
．
由图可知，代入式子：
∵，
，
解得，即．
，
．
在和中，
．
∴．
，
．
10．B
解：由题意可得，，
由折叠的性质可得垂直平分，，，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，在上取点，使得，连接，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
，故④错误；
∵为等边三角形，，，
∴，
∵，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②③，共个．
二、填空题
11．8
解：设中，边上的高是h，
∵的面积为60，为的中线，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴的面积为，
∵，
∴，
解得：，
即中，边上的高是8．
12．
解：如图，
在和中 ，
，
，
，
，
故答案为：．
13．5或11
解：当点在线段上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，
同理可得：.
综上：线段的长为5或11.
14．35
解：延长至E，使，连接，如下图所示：

∵，
∴，
∵ ，
∴，
在中，,
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴使等腰直角三角形，
∴,
∴，
∴，
∴，
,
故答案为：35.
15．4
解：①作，
∴
∴是等腰三角形；
②作，
∴，
∴是等腰三角形；
③作，
∴，，
∴，
∴和是等腰三角形；
④在上取，
∴是等腰三角形，
∴这样的点有个．
故答案为：4．
16．②③
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
，
∴，故④错误；
延长到，使，连接，如图，
又∵，，
∴ ，
∴，
又∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
，
又∵，
∴，
∴，故③正确．
故答案为：②③．
三、解答题
17．(1)解：，理由如下：
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
(2)由（1）可得，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
18．(1)是等边三角形；理由如下：
是等边三角形，
；
，，
，，
为等边三角形．
（2）解：平分，，
，，
，
，
同理可证；
的周长．
19．（1）解：是等边三角形，
，，
是的中点，
，
，垂足为，
，
，
的度数是．
（2）解：，，
，
∵是由沿方向平移得到的，
∴
∵，
，
，
，
∴的长是．
(3)证明：
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，即 ，
，
，
， ，
是等边三角形．
20．（1）解：①∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
②理由：分别延长，交于点，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，即．
（2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；

∵，
∴，
由（1）②知，，
∴过B的直线都与平行，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点，，这三个点在同一直线上．
21．（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
．
在和中，，，
，
∵，
∴，
（2）解：
在和中
．
在和中
，
．
（3）解：由（1）得，，
，
∵，
，，
，
，
，，
，
．
，，
．
22．(1)证明：，
，
，
，
，
，
，
又，，
；
（2）解：如图1，由（1）知，
，
当点在线段上时，，
，解得；
当点在射线上时，，
，解得；
综上所述，当或秒时，；
（3）解：存在．
由（1）知，
，
，即，
如图2，当点在线段上时，
，且，
当时，，
此时，，
，解得，
如图3，当点在的延长线上时，
，且，
当时，，
此时，，
，解得，
综上所述，当或秒时，与全等．
23．（1）解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；
（2）证明：如图2，延长至，使，连接，则，
为的中点，
，
，
，
在和中，
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．

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