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第1章《三角形》单元自测卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，2，5 C．3，4，5 D．3，3，6
2．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B． C． D．
3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
4．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可）
10．如图，在中，是的中线，，则的度数为_______．
11．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________．
12．如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______．
13．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于________．
14．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________．
15．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______．
16．中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为________．
三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。
17．如图，点在一条直线上，．求证：．
18．和的位置如图所示，点B在边上，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
19．如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接．
(1)吗？说明理由；
(2)若的周长为，cm，求长．
20．如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
21．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
22．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，只用无刻度的直尺并保留作图痕迹．
(1)在图中，作出与全等的格点三角形；
(2)在图中，找出的重心点．
23．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求的长．
24．如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点．
(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论．
25．在中，，，点为的中点，，两边分别交，于，两点．
(1)如图1，当点，分别在边和上时，求证：；
(2)如图2，当点，分别在和的延长线上时，连接，，求的面积．
26．如图1，在中，，，为边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点．
(1)请找出图中与相等的角，并说明理由；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，点在线段上，且，连接交于点，若，的面积为，求的面积．
27．阅读以下材料，完成以下两个问题．
【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分．
结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：；
(3)与面积之间的关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题。
1．C
解：选项A∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．
选项B∵，两条较短边的和小于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．
选项C∵，两条较短边的和大于最长边，满足三边关系，∴能组成三角形，符合题意．
选项D∵，两条较短边的和等于最长边，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合题意．
综上，选C．
2．D
解：A．线段不是的高，不符合题意；
B．线段不是的高，不符合题意；
C．线段不是的高，不符合题意；
D．线段是的高，符合题意．
3．D
解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求；
B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求；
C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求；
D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求．
4．B
解：，，
∴，，
则．
5．B
解：∵，，，
∴在中，．
6．C
解：∵的垂直平分线分别交，于点，
∴
∵的周长为
∴
∴的周长为．
7．B
解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h．
由作图可知平分，
，
，
，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
．
8．C
解：①∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
即，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，共个．
二、填空题。
9．（或，写出任意一个即可）
解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，，
∴
∴，
∵为偶数，
∴的值为或．
10．
解：∵是的中线，
∴，即，
∵，
∴
11．
解：如下图所示，过点作，过点作，
，
在和中，，
，
，
由题意可知，
，
米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是．
12．20
解：当有最小值时，则有，
∵，
∴，
∵，
∴为的角平分线，
∵
∴．
13．
解：∵点、分别为边、的中点，
∴，，
∴．
14．6
解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度，
∵，
∴的最小值是．
15．15
解：连接，，，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长为∶，
∵F是、垂直平分线的交点，
∴．
∵，
∴M是的中点，
∴．
16．2或
解：∵中，厘米，厘米，点为的中点．
∴，厘米，
设运动时间为秒，
则，，，
当与全等时，有，
当，时，
则，解得；
当，时，
则，解得，
综上，当与全等时，的值为2或．
三、解答题
17．证明：∵，
∴．
∵，
∴
在与中，
，
∴．
∴．
18．(1)证明：，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，，
．
19．(1)解：，理由如下：
垂直平分，
，
，，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
，
，
由（1）可得：，
又，
，
即，
长为．
20．(1)证明：∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：由（1）知，
在和中，，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
21．(1)证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
四边形的面积为：
．
22．(1)解：如图，三角形即为所求（答案不唯一），
(2)解：如图，点即为所求，
23．(1)证明：在中，，，于点，
，
，
是等边三角形，
（2）解：，，
，
由（1）可知：是等边三角形，，
，，
，
在和中，
，
，
，
即的长为．
24．(1)是的平分线上一点，，，
，
∵，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；
(2)是的平分线，，
，
，，
，，
，
，
，
．
25．(1)证明：如图，连接，
，，点为的中点，
，，，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
，，点为的中点，
，，，
，，
，
，
，
．
26．(1)，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
(2)证明：过点作交于点，如图，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
则；
（3）解：过点作交的延长线于点，如图，
同理可证，
则，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的面积为，
∴的面积为，的面积为，
则的面积为，
在和中
∴，
∴，
则，
∵，即，
∴，
∴，
则．
27．(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分；
方法②：证明：如图，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分；
(2)如图，延长至点，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
设与交于点H，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
(3)与面积相等，理由如下；
由（2）可知，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴．

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