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第2章《实数的初步认识》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（ ）
姓名：嘉嘉 做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√）
A．道 B．道 C．道 D．道
3．关于代数式的值说法正确的是（ ）
A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小
4．对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（ ）
A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根
C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根
5．已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．下面各数，与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
7．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法：
①；
②若，则满足题意的整数有5个；
③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19．
其中正确的说法有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若式子有意义，则____________．
12．我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字）
13．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________．
14．观察下面表格：
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________．
15．若实数a，b同时满足，，则的值为_____．
16．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17．（6分）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分．
(1)________；
(2)求的算术平方根．
18．（8分）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．
(1)化简：的平方根．
(2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根．
19．（10分）类比探究：
小红同学在学方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识：
若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；
若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为．
请认真阅读上面的材料，回答下列问题：
(1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________；
②32的五次方根为____________；
(2)若，则____________；
(3)求的值：．
20．（10分）如图，这是一个数值转换器．
(1)当输入x的值为9时，输出______．
(2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，．
(3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值．
21．（12分）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
第5个等式：；……
(1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简）
(2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式．
(3)利用（2）的结论计算：
22．（12分）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形．
(1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间；
(2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．
①第一次翻滚后，点表示的数为多少
②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
23．（14分）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5纸的面积是__________平方米．
(2)A4纸的长宽__________．
(3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，）
参考答案
一、选择题
1．C
解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求；
B．选项是分数，属于有理数，不符合要求；
C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求；
D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求．
2．C
①：精确到十分位，精确到百分位，意义不同，
∴ 嘉嘉的判断错误；
②：的最后一位在万分位，精确到，
∴ 嘉嘉的判断正确；
③：万，最后一位数字“”在十位，故“万”精确到十位，
∴ 嘉嘉的判断正确；
④：保留两位小数，第三位小数，舍去得，
∴ 嘉嘉的判断正确；
∴ 嘉嘉做对道题．
故选：C．
3．B
解：∵算术平方根的值为非负数，
∴，
∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大，
∴当取最小值时，代数式取得最大值，令，
解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值，
故时，代数式的值最大．
4．A
解：设正方体的棱长为（，棱长为正数），
根据正方体体积公式：，因此，即棱长是的立方根，A正确，D错误；
根据正方体底面积公式：，因此，即棱长是的算术平方根，B选项说“的平方根”（平方根含正负，不符合棱长为正）、C选项说“的立方根”，均错误．
5．C
解：∵的平方根是，的立方根是，
∴，，
解得，，
∴．
6．C
解：∵ ， ， ， ，
∴，
∵ ，
∴与最接近的整数是4．
7．C
解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数，
故输出的值是．
8．C
解：，
，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∵，
∴的整数部分为，小数部分，
．
9．D
解：是的负平方根，
．
，，
，即
最大的实数是，最小的实数是，
．
10．A
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴根据定义得，
∴平方得，
∵是整数，
∴的取值为，共个，故②正确；
由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到，
∵，
∴，即，
若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取；
最小满足，得，最小正整数；
最大满足，得，最大正整数；
∴最大值与最小值的和为，故③正确；
综上，三个说法都正确．
二、填空题
11．
解：∵要有意义，
∴，即，
∴，
∴．
12．
解：由题意得：
300亿，
每年误差不超过：
．
13．
解：由图可知，，则，
．
14．
解：由表格可得，，，
的整数部分为
的立方根为，即的立方根为．
15．2
解：∵，，
∴，，
∴，；
当时，则，则，
∵，
∴，
当，即时，，
解得，
∴，符合题意，
∴；
当，即，则，该方程无解；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，该方程无解，
∴综上：．
16．
解：设阴影部分正方形的边长为x，
由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有
，
即
解得 ，
，
，
则阴影部分正方形的边长为．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的整数部分为3，即，
∴，
∴的算术平方根为．
18．（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置，
可知，，
，
则的平方根为；
（2）解：，则，
，则，即，解得，
，解得，
，
则的平方根为．
19．（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若
，则x叫a的五次方根，记作．
②∵，
∴32的五次方根为2．
（2）解：∵，，且，
∴，，
解得，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
解得，．
20．（1）解：是有理数，
是无理数，
∴当输入x的值为9时，输出；
（2）解：输入x的值可能是，理由如下：
∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根，
∴输入的数为负数，
∴输入x的值可能是；
（3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2，
当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2，
∴输入的数为，
同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……，
∴输入的数可以为2或4．
21．（1）解：第1个等式：，即；
第2个等式：，即；
第3个等式：，即；
第4个等式：，即；
第5个等式：，即；
……
第8个等式：，即．
（2）解：第n个等式为．
（3）解：
．
22．（1）解：由题意得，正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵，
∴，
∴的长在和之间；
（2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为，
∴第一次翻滚后，点表示的数为；
②不存在，理由如下：
设存在正整数，则，
∴，
∵为正整数，
∴为有理数，而为无理数，
∴上述等式不成立，即不存在正整数．
23．（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米，
A1纸的面积为平方米，
A2纸的面积为平方米，
A3纸的面积为平方米，
A4纸的面积为平方米，
A5纸的面积是平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中，
，即A4纸的长宽之比为；
（3）解：设纸的宽为，则长为，
依题意得，
，
∵，
∴，
∵（负值不合题意，舍去），
∴，
∴，
答：纸的长为，宽为．

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