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第二章《实数的初步认识》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．49的算术平方根是（ ）
A． B． C．7 D．23
2．下列说法正确的是（ ）
A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位
C．精确到十位 D．3000精确到千位
3．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
D．一个不为的数的立方根与被开方数同号
4．下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于的说法错误的是（ ）
A．的绝对值是 B．的相反数是
C．的倒数是 D．是有理数
6．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是( )
A．4 B．8 C．16 D．64
8．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（　　）
A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4
9．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ）
①当输入值为时，输出值为
②当输出值为时，输入值为或
③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值．
④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：_________．
12．一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________．
13．已知的小数部分为a，则_____．
14．已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________．
15．小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________．
16．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）求出下列的值：
(1)； (2)．
19．（6分）已知的平方根是，的立方根是，与互为相反数．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
20．（8分）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳．
(1)求该运动员的跑步速度；
(2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值．
21．（8分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数．
(1)若，试求出的立方根；
(2)若，其中，是的平方根，求的值．
22．（10分）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了．
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？
23．（10分）任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，．
例如：，其中；
又如，其中回答下列问题：
(1)____________，____________；
(2)____________；____________；
(3)若，求所有可能的值．
24．（12分）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)已知是一个整数的立方，求；
①由，，可以确定是________位数；
②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________；
③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________
(2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值．
25．（12分）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________．
请根据材料回答下列问题：
(1)的小数部分是___________．
(2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________．
(3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，）
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
∴ 49的算术平方根是．
2．C
解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项：
A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误，
B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误，
C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确，
D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误．
3．D
解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误；
∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误；
∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误；
∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确．
4．D
解：∵ ，，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 四个数中最大的是．
5．D
解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确；
∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确；
∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确；
∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误.
6．A
解：根据数轴有：，则有：．
7．A
解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，
∴ ，
整理得，
解得，
将代入其中一个平方根，得，
∵，
∴这个正数是．
8．D
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
∵＝2，
∴b＝8，
∴a+b＝4+8或﹣4+8，
即a+b＝12或4．
故选：D．
9．C
解：，
，
，
当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，
则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，
，
，
∴，
，
．
10．B
解：①当时，∵是有理数，
∴重新输入，
∵是有理数，
∴重新输入，
∵是无理数，
∴输出值为，故①正确；
②∵输出值为时，
∴输入值为或或等，故②错误；
③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确；
④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误；
综上，说法正确的是①③．
二、填空题
11．8
解：．
12．
解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是，
∴这个三位小数要大于或等于，且要小于，
∴这个三位小数最大是，
故答案为：．
13．
解：，
，即，
的整数部分为，
的小数部分为，
．
14．（答案不唯一）
解：∵m是无理数，且，
∴一个符合条件的m为（答案不唯一）．
15．±7
解：先计算括号内的运算：
根据新运算法则，得
再计算括号外的运算：
根据平方根的定义，的平方根为．
16．6
解：设正方体印章的棱长为，
由正方体体积公式得：，
∴，
因此木匣的宽为，
设木匣的长为，则木匣的高也为，
根据长方体体积公式可得：，即，
所以，
即木匣的长为．
三、解答题
17．（1）解：
（2）解：
18．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，解得，
∵与互为相反数，
∴，
综上，，，；
（2）解：由（）得，，，，
∴，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
20．（1）解：，代入得：
，
即，
解得：，负值舍去，
∴该运动员的跑步速度是米／秒．
（2）解：∵，
∴（米/秒），
即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒．
21．（1）解：∵，m和n是有理数，
∴，，
解得，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：∵，
∴，
∴
∴，
∵m和n是有理数，
∴，
解得，
∵m，n是x的平方根，
∴．
22．（1）解：设正方体棱长为，
则，
解得，
答：正方体棱长；
（2）解：设直径为，
则，
解得或（负值不符合实际，舍去），
答：杯内部的底面直径为．
23．（1）解：，
， ；
（2）解：，
，
，
即，
；
（3）解：
即
或9．
24．（1） ，
，
是两位数；
的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是，
的个位数字是；
，
的十位数字是，
；
（2），
，
是两位数，
的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是，
的个位数字是，划去后三位，得到数，
，
十位数的数是，
．
25．（1）解：∵，即的整数部分是1，
∴的小数部分是；
（2）解：由题意，可知纸的面积是1平方米；
纸的面积是平方米；
纸的面积是平方米；
纸的面积是平方米；
纸的面积是平方米；
纸的面积是平方米；
如图所示，由折叠的性质可得，
由材料一可知，
∴，
即纸的长宽之比为；
（3）解：设纸的宽为，则长为，
依题意得，
即
，
，
（负值不合题意，舍去），
，
，
答：纸的长为，宽为．

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